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背理法
P＾（ｎ/ｍ）が無理数であることを素因数分解の一意性を使って証明しようと思っているんですが、（ｐは素数、1≦ｍ＜ｎ、ｍとｎ∈N）素因数分解の一意性を使うと言う点で流れを頭に描ける分、文章に表すことができません。 どのようにしたらよいのでしょうか？
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- quantum2000
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- secretd
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条件式あってますか？ P=2,m=1,n=2のとき P^(n/m)=2^(2/1)=2^2=4で全然無理数ではないですが． mとnが逆じゃありませんか？ 答えをいきなり書くのもあれですが，とりあえず考えてみたことを書いてみてはいかがでしょうか．
補足
訂正：P^(m/n)の間違いです。 P^(m/n)＝a/bとする。（a,bは互いに素） 両辺n乗して、P^m＝（a^n）/（b^n） （b^n）（P^m）＝a^n いま、aはｐの倍数より、a=pk（ｋは整数） （b^n）（P^m）＝（ｐ^ｎ）（ｋ＾n） ｂ＾ｎ＝ｐ＾（n-m）・ｋ＾ｎ ｂはｐの倍数より、ｂ＝ｐｌ（ｌは整数） （ｐ＾ｎ）（ｌ＾ｎ）＝ｐ＾（n-m）・ｋ＾ｎ ｌ＾ｎ＝ｐ＾（ーｍ）・ｋ＾ｎ ｐ＾ｍ＝（ｋ＾ｎ）/（ｌ＾ｎ） したがってｐ＾ｍ＝（ｋ＾ｎ）/（ｌ＾ｎ）＝（a^n）/（b^n）となる。 有理数は素因数の一意性より一通りで書けるが、矛盾。 よって無理数。
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