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余りに関する証明
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このような余りの問題は、整数nを割る数に対して場合分けして考えるといいですよ。 1) mを整数とすると、整数nは次の3通りに場合分けできます。 n=3m、3m+1、3m+2 そして、このそれぞれに場合について、求める数を割る数3で整理してみます。 a)n=3mのとき n^2=9m^2 ⇒ n^2は3の倍数なので、余りは0 b)n=3m+1のとき n^2=(3m+1)^2=9m^2+6m+1=3(3m^2+2m)+1 ⇒ n^2を3で割った余りは1 c)n=3m+2のとき n^2=(3m+2)^2=9m^2+12m+4=3(3m^2+4m+1)+1 ⇒ n^2を3で割った余りは1 以上のことから、n^2を3で割った余りは、0か1となります。 2)nと次の5通りに場合分けします。 n=5m、5m+1、5m+2、5m+3、5m+4 a)n=5mのとき n^2+n+1=25m^2+5m+1=5(5m^2+m)+1 ⇒ 5で割った余りは1で割り切れない b)n=5m+1のとき n^2+n+1=(5m+1)^2+(5m+1)+1=25m^2+10m+1+5m+1+1=5(5m^2+3m)+3 ⇒ 5で割った余りは3で割り切れない c)n=5m+2のとき n^2+n+1=(5m+2)^2+(5m+2)+1=25m^2+20m+4+5m+2+1=5(5m^2+5m+1)+2 ⇒ 5で割った余りは2で割り切れない d)n=5m+3のとき n^2+n+1=(5m+3)^2+(5m+3)+1=25m^2+30m+9+5m+3+1=5(5m^2+7m+2)+3 ⇒ 5で割った余りは3で割り切れない e)n=5m+4のとき n^2+n+1=(5m+4)^2+(5m+4)+1=25m^2+40m+9+5m+4+1=5(5m^2+9m+2)+4 ⇒ 5で割った余りは4で割り切れない 以上のことから、nがどのような整数であっても5で割り切れないということが示されます。
その他の回答 (1)
- zk43
- ベストアンサー率53% (253/470)
1 n=3k(k:整数、以下同様)のとき n^2=9k^2・・・3で割り切れる n=3k+1のとき n^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1・・・3で割ると余り1 n=3k+2のとき n^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1・・・3で割ると余り1 2 n=5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4それぞれの場合について考える。
お礼
zk43さん、ありがとうございますっ! 参考にしてやってみます。
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お礼
Mr_Hollandさんどうもありがとうございますっ! なんとかなりそうです。頑張ります。