- ベストアンサー
【量子力学】演算子の行列表示
固有値方程式 Fφ_n = f_n φ_n に、左から(φ_m)^*を掛けて積分すると、φの正規直交性より F_m,n ≡ f_n δ_n,m であり、これは対角型の行列である。 と本に書いてあるのですが、 Ｆがオブザーバブルな物理量であるとしても、Ｆはエルミート行列になるのではないでしょうか？ 上記の部分を読むと、固有値方程式として書ける演算子の行列表現が全て対角行列になる、というような解釈をしてしまうのですが…。 よろしくおねがいします。
- dark_space
- お礼率63% (21/33)
- 物理学
- 回答数2
- ありがとう数1
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>Ｆがオブザーバブルな物理量であるとしても、Ｆはエルミート行列になるのではないでしょうか？ Fがオブザーバブルならば、F(の表現行列)はエルミート行列でなければいけません。量子力学における基本的な要請の１つです。 >上記の部分を読むと、固有値方程式として書ける演算子の行列表現が全て対角行列になる、というような解釈をしてしまうのですが…。 固有ベクトルたちを基底にとれば、対角行列になるというだけの事です。それ以外の基底を選べば、もちろん、対角行列にはなりません。 よく質問の意味が分からかったのですが、上記のような答えでいいのかな？？
その他の回答 (1)
- rapspitz
- ベストアンサー率40% (2/5)
エルミート演算子であれば、その表示は対角化できます。 Hermiteであれば, 固有ベクトルは、正規直行化 できるので、ある基底ベクトルから固有ベクトルへはユニタリー変換で 移れる。 固有値方程式として書ける演算子の行列表現が全て対角行列になる＞ すべてではない
関連するQ&A
- なぜ正規行列で対角化するの？？
アホな質問です。 対角化するとき、エルミート行列あるいは実対象行列のときはユニタリー行列Uあるいは直行行列を使って対角するような問題ばかりなのですが、なぜ、普通に任意の正則行列Pをつかって対角化しないでしょうか？ ユニタリー行列を探すには、固有ベクトル見つけたあと、グラムシュミットで正規直交基底をつくってやらんきゃならんわけですよね。単に固有ベクトルならべてつくるPより、面倒だと思うのですが？ 教科書にはそういうときはユニタリで対角化できるみたいに書いてあるんで普通の正則行列Pでも対角化自体はできんですか？ その後においてどういう利点があるんでしょうか？ 確か前どっかで聞いたことあったような・・Uが直行しているのでなんかの計算で便利なんでしたっけ？何かをわざわざ計算しなくてもいいから楽？ってどっかで見たか聞いたことあったような・・・。わかりやすく大学初学年にもわかりやすい程度でお願いします・・。m(__)m
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数がわかりません・・・
線形代数がわかりません・・・ A? = －A となる行列を歪エルミート行列という。 (1) 歪エルミート行列の固有値は全て純虚数であることを示せ。 (2) 歪エルミート行列の相異なる固有値に関する固有空間は互いに直交することを示せ。 (3) 歪エルミート行列はユニタリ行列で対角化できることを示せ。 がわかりません。。。おねがいします＞＜
- 締切済み
- 数学・算数
- 固有値を全く持たない演算子（or 行列、作用素？）はあり得るのか？
任意の固有値{e_i}が0以上(0 <= e_i)であり、また任意の固有値{e_i}は整数に限られるような演算子(作用素？)Nがあるとします。 さらに、Nが固有値Eを持つとすれば、E-1もE+1も固有値であることが分かっているとします。（ただし、E=1の場合は、E-1は固有値ではありません。） 仮にNが1つでも固有値を持つとすれば、上記仮定より必然的に0以上の整数全てがNの固有値である事になります。しかし、Nが全く固有値を持たないときは、この限りではありません。 私の疑問は、全く固有値を持たない演算子（作用素）は存在しえるのかという事です。0演算子(作用素)ですら、固有値0を持っています。 できれば、演算子は線形演算子、エルミートであり、作用される被演算子（被作用素？）は連続で、絶対積分可能な関数であるとしたいのですが、その様な空間（？）の数学的に厳密な定義の仕方が分からないので、その場合に限らなくてもかまいません。何か一例でも、存在すると聞いたことがあるなどでもかまいません。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ユニタリ行列って？？
ユニタリ行列ってなんですか？ユニタリを満たすと、量子力学や、線形代数学において、どのような意味をもつのでしょうか？行列の要素に簡単な数値を用いて説明してもらえるとうれしいです。 次の文章は、自分で調べてみたけど、いまいち意味がわからなかったことです。 複素正方行列をUとすると、そのエルミート共役がその逆数に等しいとき、ユニタリと呼ばれるんですか？ U^†＝U^(-1) （１）エルミート行列Aの対角要素は相似（ユニタリ）変換により、要約される。 D=U^†AU ここでUは列が行列Aの直交ベクトルであるユニタリ行列で、実数対角行列で、対角要素は行列Aの固有値である とありました。
- ベストアンサー
- 物理学
- エルミート行列の対角化の証明
証明 エルミート行列はユニタリー行列を使って固有値を対角要素とする対角行列にでき、その固有値は実数である。 いろいろ調べたんですが、この証明ができなくて、困っています。 よろしくおねがいします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 量子力学 測定値のばらつきについて
量子力学において、物理量は観測されるたびに測定値がばらつくといううことが知られている。 そこでその平均値を<L>とし、測定値の分散を(δ<L>)^2とするとき、分散に対応する演算子は(δL)^2=(L-<L>)^2で与えられる。 したがって分散は、(δ<L>)^2=∫ψ*(δL)^2ψdVによって求められる。 (１)このとき、分散が正であることをδLのエルミート性より導け。 (２)分散がゼロにあるような状態ψLにおける固有値方程式を導け。 以上の様な問題を解こうと考えていたのですが、回答の糸口がつかめなくて困っています。自分としては、エルミート演算子を２乗した演算子から与えられる期待値は非負であることを示せれば良いと思ったのですが、それを示せず四苦八苦している状況です・・・。どなたか解法をご教授いただけないでしょうか。。。お願いいたします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 線形代数 行列の対角化とユニタリー行列について
線形代数 行列の対角化とユニタリー行列について 行列Aをの固有値a1,a2,.....に対して固有ベクトルをv1,v2,.....とするとAを対角化する変換行列Pは P=(v1,v2,...)となりますよね？このとき対角化された行列は PAP^(-1)とP^(-1)APのどちらですか？ 教科書によって違うので混乱しています。 また、Aが対角化可能かどうかは具体的にはどのように判断するんですか？ というのも今までエルミート行列しか対角化したことなかったんです。 エルミート行列を対角化する変換行列はユニタリー行列であるという認識は正しいですか？ ユニタリー行列の場合変換の際に基底の大きは保存されると思います。よって大きさが変わっていいならユニタリーでなくても対角化できそうなのですが。 一般的には対角化とエルミート行列とユニタリー行列の間にはどんな関係があるのでしょうか？ 迷走した質問ですみません。よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 大学の数学「線形代数」；エルミート行列の対角化について
大学の数学「線形代数」；エルミート行列の対角化について 次のエルミート行列の対角化をしたいのですが、どうしたらいいですか。そのまま固有方程式を解こうとすると失敗しました。また、行列の基本変形で対角化しようとしましたがやはり無理でした。指針だけでも結構ですので、教えて下さると助かります。 （ ２ １ ０ ） （ １ １ i ） （ ０ -i １ ） （ ）はそれぞれ上から順に第１行、第２行、第３行を表している。iは虚数単位。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ご回答ありがとうございます。 返信が遅くなって申し訳ございませんでした。 正規直交なものを用いて行列にしているんですから、対角行列になるんですね。。 言われると気づきますけども、なかなか一人で理解するのは難しいですね…(^^; わかりにくい質問になってしまいましたが、的確なご回答ありがとうございました。