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自然対数の性質の変わった証明
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- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
#2 です. ちょっと間違い. r(x) = [g(c)/g(0)] g(x) だ. g(x) = 4 e^x でも問題の条件を満たすことを忘れてた.
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
えっと.... 微分方程式における解の一意性を用いていいならほぼ自明なんではないかなぁ? つまり r(x) = g(x+c) から r(0) = g(c) です. ということで, この r は r' = r, r(0) = g(c) という初期値付きの微分方程式になって, これを解けば (g' = g を使って) r(x) = g(c) g(x) はすぐ出るような....
- proto
- ベストアンサー率47% (366/775)
あまり自身は無いのですが、 g(x)≠0としてg(x+c)/g(x)をxで微分すると、 (d/dx)(g(x+c)/g(x)) = {g'(x+c)g(x)-g(x+c)g'(x)}/(g(x)^2) ここでg'(x)=g(x),g'(x+c)=g(x+c)より (d/dx)(g(x+c)/g(x)) = {g(x+c)g(x)-g(x+c)g(x)}/(g(x)^2) = 0 よって常に0となるので、Aをxに無関係な定数として g(x+c)/g(x) = A g(x+c) = A・g(x) －(*) と置ける。 ここでAをcの関数として見てA(c)と書くと g(x+c) = A(c)・g(x) さらにg(x+c)をcの関数として見ると、g(x)はcと無関係な定数でありBと書き換えると g(c+x) = B・A(c) 先ほど(*)で示したgの性質よりg(c+x)は(定数)・g(c)という形で書けるはずなので A(c) = g(c)である これを(*)の式に代入すると、結局 g(x+c) = g(c)・g(x) である。
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