大学受験の問題 微積の分野

質問

〔問題〕
微分可能な関数f(x),g(x)が次の4条件を満たしている。
(a)任意の正の実数xについてf(x)>0,g(x)>0
(b)任意の実数xについてf(-x)=f(x),g(-x)=-g(x)
(c)任意の実数x,yについてf(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)
(d)lim(x→0)g(x)/x=2
このとき以下の各問いに答えよ。
(1)f(0)およびg(0)を求めよ。

そこで、私は(b)よりg(0)=0を求めました。それは問題なく、
次に(c)でx=y=0とし、f(0){f(0)-1}=0を得て、
f(0)=0,1としました。
ところが、f(0)=0は間違いで、f(0)=1のみが解になっています。
解説を読んでもわかりません。

私の間違っているところ、どういう考えによってそのような答えになるのか教えてください。

回答No.3

rnakamra · ベストアンサー

#1はg(x)を偶関数としているので間違いです。
g(-x)=-g(x)ですのでg(x)は奇関数です。

ここではf(x)が微分可能であることと(d)の条件を使います。

f'(x)=lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h
=lim[h→0]{f(x)f(h)+g(x)g(h)-f(x)}/h
=lim[h→0][f(x){f(h)-1}/h+g(x)g(h)/h]　(A)

となります。
(A)の[]内の第2項は
lim[h→0]g(x)g(h)/h=g(x)lim[h→0]g(h)/h=2g(x) (d)より

と収束します。
(A)の極限が存在するためには第1項が収束しないといけません。
そのためには
lim[h→0]{f(h)-1}=0
となることが必要条件です。

f(x)は微分可能であるからf(x)は連続、つまり、lim[h→0]f(h)=f(0)
ですのでf(0)=1となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
小問の(2)で{f(x)}^2-{g(x)}^2を、
(3)でlim[x→]{1-f(x)}/x^2を求め、
(4)でf(x)の導関数をg(x)で表せ、と(5)まで問題が続きます。
とても誘導が多く、
>lim[h→0]{f(h)-1}=0
は考えませんでした。でも、確かにその通りですね。

回答No.4

mister_moonlight

x＝y＝0としなければ良い。

y＝0とすると、(c)より、f(x)＝f(0)*f(x)+g(0)*g(x)。g(0)＝0　より、f(x)＝f(0)*f(x)＋g(0)*g(x)＝f(0)*f(x)　。
よって、f(x)＞0より、f(0)＝1.

お礼

ご回答ありがとうございます。
本当に、最初に入れた数字で、悩みが増えた気がします。
ふたつ解が出てしまったら、示さなければいけないかな、と考えたり…。
私のようなところで引っかからずにどんどん先に進むところのようなので、困ります。

回答No.2

R_Earl

ANo.1ですが訂正です。
g(x)は奇関数でしたね。

条件(c)にx = 1, y = 0を代入してください。
そうすると

f(1)
= f(1)f(0) + g(1)g(0)
= f(1)f(0)

となります。
f(0) = 0と仮定すると、f(1) = 0となります。
これは条件(a)を満たしません。
よってf(0) = 1です。

お礼

ご回答ありがとうございます。
本当に、
>条件(c)にx = 1, y = 0を代入
すれば解けるのに、x=y=0を入れれば簡単に出そうだと考えた結果です。
この後の小問を、f(0)=0とf(0)=1で場合分けしながら考えて、なんだか手間取るなあ、と思っていました。

回答No.1

R_Earl

> f(0)=0,1としました。
> ところが、f(0)=0は間違いで、f(0)=1のみが解になっています。

条件(a)より、0 < xで0 < f(x), 0 < g(x)です。
また条件(b)より、f(x)もg(x)も偶関数なので、
この2つの条件から、x < 0でも0 < f(x), 0 < g(x)が成り立つことがわかります。

これを踏まえて(c)の条件式に、例えばx = 1, y = -1を代入して下さい。
そうすると
f(0) = f(1)f(-1) + g(1)g(-1)
となります。
前述の話の通り、f(1)もf(-1)もg(1)もg(-1)も共に0以上の数です。
よって

f(0) = f(1)f(-1) + g(1)g(-1) > 0
∴f(0) > 0

となります。