微分方程式の問題がわかりません

質問

こんにちは、微分方程式の授業でわからない問題があって困ってます、
y''+ay'+by＝0(a,bは実数の定数)においてy＝(4-2x)e^-xが解である場合、a,bの値を求め、その一般解を求めよという問題です。

最後のページ解答が載っていてa＝2、　b＝1　ｙ＝(c1＋c2x)e^-x　(c1，　c2は任意定数)となっているのですが。過程を是非教えていただきたいと思います。よろしくお願いします。

回答No.1

cacao86 · ベストアンサー

まず、与えられた解であるyをy',y''と計算して問題の式に代入してみればa,bは求められると思います。
その後、a,bの値を代入してy''+2ay'+y=0。2階線形微分方程式になっているので特性方程式λ^2+2λ+1=0の解はλ=-1で重解。このとき一般解はy=c1e^(-x)+{c3e^(-x)}'
=c1e^(-x)-xc3e^(-x)
=c1e^(-x)+c2xe^(-x) (c2=-c3)
=(c1＋c2x)e^-x　(c1，c2は任意定数)
かなと思います。

お礼

ありがとうございました。とても分りやすい解説で完璧に理解することができました。

回答No.3

carvelo

ご自分ではどこまでやったのでしょうか？

y=(4-2x)e^(-x)が解だと分かっているなら、方程式の左辺に代入してみましょう。

因みにこの問題に限れば、与えられた解の形（e^(-x)とxe^(-x)の線形結合）と方程式が定係数ニ階斉次線形常微分方程式であることから「基本解がe^(-x)とxe^(-x)で（つまり、一般解がy=(c1+c2x)e^(-x)で）、従って特性方程式が(λ+1)^2=0となるからa=2、b=1」とすぐに分かります。

お礼

全然分らなくて自分ではあきらめモードでしたすみません、この度は本当に助かりました。ありがとうございました。

回答No.2

teruta

aとbを求めるところを・・。

y=(4-2x)e^(-x)　なのでまずこれを2回微分します。
積の微分法を用いて
y'=-(4-2*x)*e^(-x)-2*e^(-x)
　=2*(x-3)*e^(-x)
y''=-2*(x-4)*e^(-x)
これを元の微分方程式に代入します
y''+ay'+by＝0
-2*(x-4)*e^(-x) + a{2*(x-3)*e^(-x)} + b{(4-2x)e^(-x)} = 0
e^(-x)は全部の項に掛かっていて、右辺が0なので消します
-2*(x-4) + 2a*(x-3) + b(4-2x) = 0
展開すると
2ax-6a-2bx-2x+4b+8 = 0
xについてまとめると
x(2a-2b-2)-6a+4b+8 = 0x + 0
右辺を少し書き換えましたが、同じことです。
左辺と右辺を比較すると、次の連立方程式が得られます。
2a-2b-2 = 0
-6a+4b+8 = 0
これを解けばa＝2,b＝1が得られます。

お礼

ありがとうございました。とても分りやすい解説で完璧に理解することができました。