専門的な質問ですみません。数学の問題なのですが、

質問

専門的な質問ですいません。数学の問題なのですが…。

問:微分可能な実数値関数f(x)、g(x)が、次の3式、

f(x+y)＝f(x)g(y)＋f(y)g(x)　　g(x+y)＝g(x)g(y)－f(x)f(y)

{f'(0)の二乗}＋{g'(0)の二乗}＝1(すみません二乗が変換できませんでした)

を満たすとき、f(0)＝0、g(0)＝1をまず示し、次に、

g'(x)＝g'(0)g(x)ーf'(x)f(x)
f'(x)＝f'(0)g(x)＋g'(0)f(x)を導いた後、

連立微分方程式　g'(x)＝－f(x)、f'(x)＝g(x)が成り立つことを示し、それらの初期値問題　f(0)＝0、g(0)＝1の解が、

　f(x)＝±sinx g(x)＝cosx　

となることを証明せよって言うんです。微分方程式の解の存在と、一意性に関する定理を直接利用してはだめだと言われました。
どなたか助けてください。お願いします。

回答No.4

Meowth · ベストアンサー

(I) f(x)は恒等的に０のとき
f(0)=0
g(x+y)＝g(x)g(y)
g(x)=g(x)g(0)
g(x)は恒等的に０または,g(0)=１

(II) f(x)は恒等的に０でないとき、
f(x)=f(x)g(0)+f(0)g(x)
x=0とすれば
f(0)(1-2g(0))=0
f(0)=0 または、g(0)=１/2

g(0)=１/2のとき
f(x)=f(0)g(x)+f(x)/2
g(x)＝g(x)/2－f(x)f(0)
から
f(x)= 2f(0)g(x)　
g(x)=-2f(0)f(x) f=2f(0)(-2f(0)f
f=2f(0){-2f(0)f} f(x)は恒等的に０でないから
-4f(0)^2=1
となり、f(0)は存在しない。
したがって、　g(0)=１/2ではない
f(0)=0
f(x)=f(x)g(0)
f(x)は恒等的に０ではないので
g(0)=1

f(x)=0 g(x)=0 （恒等的に）　のとき　f(0)=g(0)=0
f(x)=0 （恒等的に）　f(0)=０、g(0)=1
f(x)=0（恒等的に）でないとき、　f(0)=０、g(0)=1

回答No.10

kabaokaba

私もMeowthさんも
本質的に同じことをいってるんですよ．

>連立微分方程式　g'(x)＝－f(x)、f'(x)＝g(x)が成り立つことを示し、

繰り返しますが，この連立微分方程式は成立しません．
条件が不足しているのです．
この連立微分方程式は

>f(x+y)＝f(x)g(y)＋f(y)g(x)
>g(x+y)＝g(x)g(y)－f(x)f(y)
>{f'(0)の二乗}＋{g'(0)の二乗}＝1

だけでは成立しません．

>あの…、最後の解法は問題文のどの辺りの解法なのでしょうか?
私が提示したのは，

>f(x+y)＝f(x)g(y)＋f(y)g(x)
>g(x+y)＝g(x)g(y)－f(x)f(y)
>{f'(0)の二乗}＋{g'(0)の二乗}＝1

という条件のみから関数を引きずり出す一つの方法です．

>g'(0)＝0、f'(0)＝1を示せばよいと思うのですが…。いったいどうしたらよいでしょうか?

これは示すことができません．何度もいうように
「あなたが提示されている「解法の道筋」」そのものが
間違っているか，何か条件が欠落しているかです．

実際，a^2+b^2=1 としたときに
g(x)=e^{ax}cos(bx)
f(x)=e^{ax}sin(bx)
が
>f(x+y)＝f(x)g(y)＋f(y)g(x)
>g(x+y)＝g(x)g(y)－f(x)f(y)
>{f'(0)の二乗}＋{g'(0)の二乗}＝1
を満たしているのは分かりますか？
ここで，たまたま
(a,b)=(0,1), (0,-1)とした場合が
あなたが挙げている「解」ですが
(a,b)=(1,0)としたときの g(x)=e^{x} f(x)=0とか
(a,b)=(-1,0)としたときの g(x)=e^{-x} f(x)=0 も解です．

もともとの問題から離れて
>g'(x)＝－f(x)、f'(x)＝g(x)
という連立微分方程式をとくだけなら
NO.3で書いたとおりです

お礼

お礼が大変遅れて申し訳ありません。何とか理解できました。ご協力ありがとうございました。

回答No.9

Meowth

（2回目）
f'(0)=α　g'(0)=β　　α^2+β^2=1
とすれば、
f'= βf+αg　
g'=-αf+βg
２階の方程式にすれば、
f''=βf'+αg'=β^2f+αβg-α^2 f+αβg=(β^2-α^2)f+2αβg
g''=-αf'+βg'=-α(βf+αg)+β(-αf+βg)=-2αβf+(β^2-α^2)g
α=sin(φ/2)　β=cos(φ/2)　
とおくと
2αβ=sinφ　β^2-α^2=cosφで
f''-(cosφ)f= g sinφ
g''-(cosφ)g=-f sinφ
をf(0)=0　g(0)=1
の条件で解く。
φ＝πのとき、
α=f’(0)=1　β=g’(0)=0
解は
f(x)＝sinx　g(x)＝cosx
φ＝3πのとき、
α=f’(0)=-1　β=g’(0)=0
解は
f(x)＝-sinx　g(x)＝cosx
φ＝０のとき
（I)のf=0 　g=e^x
φ=２πのとき
f=0　g=0
になる。（恒等的に０）
[境界条件g(0)=1から不適]
それ以外では、連立の微分方程式になる。

＞連立微分方程式　g'(x)＝－f(x)、f'(x)＝g(x)が成り立つこと
成り立ちません。　与えなければ

＞初期値問題　f(0)＝0、g(0)＝1の解が、
　f(x)＝±sinx g(x)＝cosx　
となるのは、上のようなf'(0)　 g' (0)　 を指定した特別の場合です。

連立の微分方程式は、1階の方程式にもどって、行列をつかって解くのが
早い。

お礼

お礼が大変遅れて申し訳ありません。何とか理解できました。ご回答いただきありがとうございました。

回答No.8

Meowth

{f(x＋h)-f(x)}/h＝{f(x)g(h)＋f(h)g(x)-f(x)}/h
＝f(x){g(h)-g(0)}/h＋g(x){f(h)-f(0)}/h
f'(x)=f(x)g'(0)+g(x)f'(0)
また、
{g(x＋h)-g(x)}/h＝{g(x)g(h)－f(x)f(h)-g(x)}/h
={g(x){g(h)-g(0)}－f(x){f(h)-f(0)}}/h
から同様に
g'(x)=g(x)g'(0)-f(x)f'(0)
f'(0)=α　g'(0)=β　　α^2+β^2=1
とすれば、
f'= βf+αg　
g'=-αf+βg

まで求まったということかな。

補足

そういうことになります。で、また次以降でつっかえてしまいました。

g'(x)＝g'(0)g(x)ーf'(0)f(x)
f'(x)＝f'(0)g(x)＋g'(0)f(x)

において、g'(0)＝0、f'(0)＝1を示せばよいと思うのですが…。いったいどうしたらよいでしょうか?

回答No.7

kabaokaba

まだみてるかどうか分かりませんが，
やっと違和感なくすっきりしました(^^;;
なんで気がつかなかったんだろうという感じです．

まず結論．
あなたが聞いている「解答」（？）が間違ってます．
解答への反例：
a，bをa^2+b^2=1を満たす実数として
f(x)=e^{ax}sin(bx)
g(x)=e^{ax}cos(bx)
は与えられた条件
f,gは実数値，微分可能関数で
f(x+y)＝f(x)g(y)＋f(y)g(x)
g(x+y)＝g(x)g(y)－f(x)f(y)
{f'(0)}^2＋{g'(0)}^2=1
を満たすが，これは
f(x)＝±sinx，g(x)＝cosxを含んだ
もっとたくさんの関数である．

したがって，どうやっても
g'(x)＝－f(x)、f'(x)＝g(x)
はでてきません．
しかしf^2(x)+g^2(x)=1「も」仮定されていれば，
三角関数だけになるはずです．

しかしそれでも，この連立方程式だけではなく，
もう一組でてくるはずです．
もし，f^2(x)+g^2(x)=1が仮定されていれば
g(x)=g(-x)が証明できて，g'(0)=0となり
f'(0)=1または-1となるということです．

つまり問題文が間違っているか，
「解答」が間違ってるかです．

解法ですが，iを虚数単位とし
H(x)=g(x)+if(x)
とおけば，もともとの問題は
H(x+y)=H(x)H(y)，H(0)=1，|H'(0)|=1
と変形できて
これより
H'(x)=AH(x)，A=H'(0)，|A|=1，H(0)=1
となります．これをとくことで
H(x)=e^{Ax}
A=a+ib とおくと
H(x)=e^{ax}cos(bx)+ie^{ax}sin(bx)
なので，fとgが決定されます．

補足

あの…、最後の解法は問題文のどの辺りの解法なのでしょうか?現状では、

連立微分方程式　g'(x)＝－f(x)、f'(x)＝g(x)が成り立つことを示し……

以降でまたつっかえてしまっているんですが、どうしたらよいでしょうか?

回答No.6

kabaokaba

No.3です
前の質問は削除されてるみたいだし．
ちょっと私も勘違いしてました．

初期条件は問題ないんですね．
初期条件の導出までは自分もさっき計算しました．
となると，微分方程式の導出かな．

>確かにおかしな問題だと自分も思いました

問題自体はまったくおかしくありません．
この手のものは「関数方程式」と呼ばれるもので
たいへんよくでてきます．
この問題は，「加法定理」と「若干の条件」で
三角関数が定義できるか？というのが主題でしょう．

ただ，実際のところ条件が不足してて
(f(x),g(x))が解なら，
(-f(x),g(x))，(f(-x),g(-x))も解ですね．
＃実際は加法定理＋微分可能性だけならもっと解がたくさんありますが
＃0での微分係数の二乗和が1だから絞れるわけです．
＃＃今回は最終的にf(x)=-f(-x)となるようですけど．

翻って，連立微分方程式　
g'(x)＝－f(x)、f'(x)＝g(x)
f(0)＝0、g(0)＝1
だと，f(x)=sin(x)，g(x)=cos(x)だけが解で
f(x)=-sin(x)，g(x)=cos(x)は解にはならないのです．

そういうわけで，もう一組，
g'(x)＝f(x)、f'(x)＝-g(x)
f(0)＝0、g(0)＝1
こういう連立微分方程式がでてこないでしょうか？

さてさて。。。
どうやって連立微分方程式までもっていきましょうか．
g'(0)=0さえ示せればよいのですが．
＃削除された質問の方にどなたか書いててくれてたっけか

補足

むむむ……
(2)の連立微分方程式　g'(x)＝－f(x)、f'(x)＝g(x)が成り立つことを示し…
以降でまたつっかえてしまいました……。(2)の前半は、yをhに置き換え、導関数の定義を利用して、

f'(x)=lim[h→0](f(x+h)-f(x))/h
　　 =lim[h→0](f(x)g(h)+g(x)f(h)-f(x))/h
　　 =lim[h→0]({g(h)-1}f(x)+f(h)g(x))/h
　　 =lim[h→0]({g(h)-1}/h)f(x)+lim[h→0](f(h)/h)g(x)=lim[h→0] 　　　({g(h)-g(0)}/h)f(x)+lim[h→0]({f(h)-f(0)}/h)g(x)
　　 =f'(0)g(x)＋g'(0)f(x)

最後はh=0とし、(1)の結果を使いました。
としてg(x)も同様にしてできたのですが…、結局最後まで自力で解けそうにないです。つっかえた所以降の問題の解き方を教えてもらえませんか?

回答No.5

Meowth

ちょっとづつき
{f'(0)の二乗}＋{g'(0)の二乗}＝1
の条件から、
恒等的に０は除かれるので
f(0)=0 g(0)=1
になる。

f(0)＝0　g(0)＝1
の2つだけでも
ならここまで。

お礼

わかりやすく解答していただきありがとうございました。

回答No.3

kabaokaba

>微分方程式の解の存在と、一意性に関する定理を直接利用してはだめだと言われました。

だれに？というのはさておき
そもそも「f(x)＝±sinx，g(x)＝cosx」にはならないんだけど
（だって，(sinx)'=cos(x)だもん，マイナスのはずがない），
それはさておき，解の存在と一意性を
「直接」使うのは駄目というのは
f(x)＝sinx g(x)＝cosx　
が解であり（代入すれば自明），一意性より「それしかない」
という流れを禁止しているということですか．
＃f(x)=-sin(x), g(x)=cos(x)は解にはなりえない。。。

閑話休題．
それなら実際に．
g'(x)＝－f(x)、f'(x)＝g(x)
f(0)＝0、g(0)＝1
を解けばいいだけです．
もちろんこの方程式はきちんと
導出できているというのが大前提です．

もっとも，もとの加法定理＋初期条件からなら，
f(x)＝±sinx，g(x)＝cosxなのは納得できます．
初期条件が二次式なので，一個に定まらなくても不思議ではありません．・
一方，導出された「初期条件つき連立微分方程式」は
解が一意に定まり，そこで f(x)＝±sinx がでてくるのは
おかしいので，きっと導出に何かおかしな点があると思います．
たぶん初期条件の導出がまずいのでしょう．
私自身はこの導出の計算はしていないので，勘ですけどね．

微分方程式そのものの解き方はいろいろ
(1)行列を使う
(f', g') = A (f,g)
A=
0 1
-1 0
とすれば，(f,g) = Ce^{Ax} で初期条件で終わり
行列の指数関数は適当な微分方程式の教科書か
線型代数の教科書をみてください

(2)二階の微分方程式に落とす
f''=(f')=g'=-f
これを解いて，g=f'からgを出す．
初期条件でfとgを確定させる．

結局，「前の質問」の回答と同じです．

補足

前回と似たような質問をしてしまってすみません。確かにおかしな問題だと自分も思いました。しかしせめて最初の、

　f(0)＝0　g(0)＝1

の2つだけでも示せないでしょうか?自分でもいろいろ計算してみたのですが…。

回答No.2

Meowth

以前の
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3550862.html
では不満ですか？
g'(x)＝g'(0)g(x)ーf'(0)f(x)
f'(x)＝f'(0)g(x)＋g'(0)f(x)
までみちびいていたようですが。
（おなじ間違えあり）
連立微分方程式　g'(x)＝－f(x)、f'(x)＝g(x)が成り立つことを示し、それらの初期値問題　f(0)＝0、g(0)＝1の解
というのだから、微分方程式は解くわけですか？
微分方程式の解の存在を利用してはだめ
とはどういう意味でしょうか。
前の質問の答えと
この質問の関係、などを教えてください。
（重複質問でしょうか）

補足

似たような質問をしてしまってすみません。実は自分はまだ微分方程式についてはまだ習っていないので、何ともいえませんが、今回投稿したような手順で証明しなくてはならない。これだけは確かです。(前回は省略しすぎました。すみません)。
しかし、せめて最初の、

　f(0)＝0　g(0)＝0

だけでも示せないでしょうか?これだけは高校レベルの知識で導けそう…。なんて考えは甘いですかね?

回答No.1

raky753

ひとつよいでしょうか？
g'(x)＝g'(0)g(x)ーf'(x)f(x)ではなくて、
g'(x)＝g'(0)g(x)ーf'(0)f(x)ではないでしょうか？

お礼

すみませんそうでした!ご指摘ありがとうございます。