sinx/xの微分係数

質問

f(x)=sinx/xのグラフを描写ソフトで書かせてみると
x=0における微分係数が0(f'(0)=0)であるようなのですが
これはどのようにしめせるのでしょうか。
不定形になってしまいます。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

まず、f(x)は偶関数です。
（x→0のとき、f(x)→1なので、f(0)=1と定義します。）
すなわち、
f(-x)=f(x)
です。
両辺を微分すると、
-f'(-x)=f'(x)
x=0とすると、
-f'(0)=f'(0)
2f'(0)=0
∴f'(0)=0
（f(x)が偶関数であるということしか使っていません。
偶関数一般について成り立つ性質のようです。
グラフで見ても、y軸に関して対称なので、f'(0)が0でないとグラフ
が左右どちらかに歪んでしまう。もちろん、f(x)は微分可能という条件
は必要です。）

お礼

なるほどすばらしい回答ありがとうございます。

回答No.4

hugen

高校なら
x<sinx<tanx

お礼

回答どうも。

で、それがどうつながるのでしょうか？
f(0) = 1ではなくf'(0) = 0となることを証明したいのですよ？

回答No.2

shr_nrht

すいません。下から二行目の式は,
lim_{x→0}(xcos(x)-sin(x))/x^2=lim_{x→0}-sin(x)/2=0

お礼

伝家の宝刀ロピタルの定理がありましたね。
ありがとうございます。

そういえばテイラー展開しても導けそうですね。

高校ＬＶでの解き方はありますでしょうか。

回答No.1

shr_nrht

sin(x)/xを微分すると(xcos(x)-sin(x))/x^2となります。
lim_{x→0}(xcos(x)-sin(x))/x^2をするのですが,このままでは不定形なので,ロピタルの定理を使います。
ちなみにロピタルの定理はlim_{x→0}f(x)/g(x)=lim_{x→0}f'(x)/g'(x)。
'は微分です。
lim_{x→0}(xcos(x)-sin(x))/x^2=lim_{x→0}=lim_{x→0}-sin(x)/2=0
よって,x=0での微分係数が0であることがわかります。