熱伝達率について

質問

熱伝達率について調べると、流れている空気の場合、１１．６～２９０．７ｗ/（ｍ＾２・ｋ）とありますが、下記の条件の場合の熱伝達率は概算値でけっこうですので、分からないでしょうか？
表面積０．０３ｍ＾２の円筒物、温度８０℃、重量２ｋｇ、物質の密度７．８７４×１０＾３ｋｇ/ｍ＾３、体積０．２５６×１０＾－３ｍ＾３、比熱４６１Ｊ/（ｋｇ℃）
１５４０ｍｍ×２７００ｍｍ×３００ｍｍで囲われている室内で、周りの雰囲気温度１７℃、室内には１７℃の空気が２．５ｍ／ｓｅｃで流れている状態内に、８０℃の物体が置かれている。
熱伝達率は、レイノルズ数とプラントル数などにより定義され、実験値や複雑な計算が必要と思われますが、やり方の方向性が知りたいための熱伝達率なので、大体の数値でいいので、教えて頂けないでしょうか

回答No.1

inara1 · ベストアンサー

「対流による物体の冷却後の温度」でお答えした inara1 です。
Re や Pr をご存知なのでちゃんとしたお答えをします。

以下に計算方法を書きますが、熱伝達率は 35 ～78 [W/m^2/K] となりました。この値からワークの温度変化を計算すると、20秒間に76.9 ～ 78.6 [℃] に下がることが分かりました。

【確認】
円筒物とは中がつまった円柱のことですね？
ご質問のワークの体積と表面積から円柱の直径 R と長さ L を計算すると、以下の2通りの場合がありますが、(1) のほうですね。(2) だと円板になりますので。
　　　(1)　R = 0.0367 [m]、L = 0.242 [m]
　　　(2)　R = 0.116 [m]、L = 0.0242 [m]

【円柱外部を冷却するときのNu数】
円柱を強制空冷する場合、空気を円柱軸に沿って流す場合と円柱側面に冷気を当てる場合では Nu（ヌセルト数）が異なりますが、普通は円柱側面に冷気を当てると思いますので、その場合の実験式は次のようになります。
　　　Nu = C*Re^n*Pr^(1/3) --- (1)
Re はレイノルズ数、Pr はプラントル数で
　　　Re = u*R/ν --- (2)
です。u [m/s] は冷気の流速、R [m] は円柱の直径、ν [m^2/s] は冷気の動粘性係数です。Pr と ν の値は、冷気温度と円柱表面の温度の平均温度での値を使います。Pr と ν の温度依存は[1] で計算できます。

【Nu数の実験式】
C と n は定数で、Re の値によって以下のような値をとります [2]。
　　　　　Re　　　　　　　　　C　　　 n
　　　40～4000　　　　　0.683　0.466
　　　4000～40000　　 0.193　0.618
　　　40000～400000　0.0266　0.806
冷気温度と円筒表面の温度の平均温度が 20℃～80℃の範囲にあるとき、[1] を使って動粘性係数 νを計算すると、3.3×10^(-6) ～ 9.5×10^(-6) [m^2/s] なので、R = 0.0367 [m]、u = 2.5 [m/s] の場合のレイノルズ数は、式(2)で計算すると Re = 9703（20℃）～27500（80℃）の範囲になります。したがって、C と n の値は C = 0.193、n = 0.618 を使えばいいことになります。Re = 9703～27500 に対する Nu は、式(1)で計算すると 50～95 の範囲になります。

【熱伝達率とNu数の関係】
一方、Nu と熱伝達率 h [W/m^2/K] との関係は、円柱の場合
　　　Nu = h*R/kf
で表わされます。kf は冷媒（空気）の熱伝導率 [W/m/K] です（円柱の熱伝導率と区別するために f をつけます）。空気の熱伝導率の温度依存は [3] で計算すると、冷気温度と円筒表面の温度の平均温度が 20℃～80℃の範囲にあるとき、kf = 0.026 ～ 0.030 W/m/K の範囲になります。したがって、R = 0.0367 [m]、u = 2.5 [m/s] の場合の熱伝達率 h は
　　　h = Nu*kf/R = 35 ～78 [W/m^2/K] --- (3)
となります。これは質問文にある空気の熱伝達率の範囲に入っています。

【熱伝達率と円柱温度の関係】
考えている円柱は細長いので、内部の温度分布は一様とみなせます [4]。その場合、円柱が一定の熱伝達率で冷却されたときの円柱温度 T [℃] の時間変化は次式で表わされます。
　　　T = Tc *( T0 - Tc )*exp{ -h*A*t/( ρ*cp*V ) } --- (4)
で表わされます。Tc は冷気温度 [℃]、T0 は円柱の初期温度 [℃]、S は冷却面積（円柱側面の表面積） [m^2] 、t は時間 [sec]、ρは円柱の密度 [kg/m^3]、cp は円柱の比熱 [J/kg/K] です。したがって、 Tc = 17 ℃、T0 = 80 ℃、S = 0.03 m^2、ρ = 7874 kg/m^3、cp = 461 J/kg/K 、V = 0.256×10^(-3) [m^3] のとき、冷気にさらされてから 20sec 後の円柱温度 T20 は以下のようになります。
　　　T20 = 76.9 ～ 78.6 [℃] --- (5)
これは ANo.1 での概算計算結果
　　　Tout = 75.9 [℃]
とほぼ同じです（やはり意外に冷えません）。

この計算はクーラのダクトから17℃の冷気が複数の円柱にまんべんなく当たっている場合ですので、ワークの配列によっては結果が違ってきます（これより冷えることはありませんが）。クーラの冷却能力を倍にした場合は、風速を倍の 5 [m/s] にすればいいはずです。式(4)で冷却時間をもっと長くしてみればどれくらいまで冷えるか計算できますが、ワークが冷やされてくると冷気との温度差がなくなっていくので、熱伝達率が一定でも、単位時間に奪われる熱量が減ってくるので、だんだん温度の下がり方が鈍くなります（式(5)で時間を変えて計算してみると分かります）。

空気の動粘性係数 ν や熱伝導率 kf、それらから計算される Re数やPr数、Nu数は、厳密には円柱温度と冷気温度の平均値での値を使わなければなりません。具体的な計算手順は、最初に、円柱温度を75℃くらいと仮定して、その温度と冷気温度の平均の46℃での物性値を使って計算し、出てきた円柱温度と冷気温度の平均温度を使って空気の物性値を補正し、また円柱温度を計算するということを繰り返せば、最終的な円柱温度が出てきます。しかし、式(5)の温度範囲は、冷気温度と円柱表面の温度の平均温度が 20℃～80℃とした場合の値なので、最終的な円柱温度の値は式(5)の範囲に入っているはずです。

【補足】
[1]　1気圧の空気の Pr 数はと動粘性係数 ν は、室温付近では次式で近似されます。
　　　　　　Pr = 0.713 - 0.0002*t
　　　　　　ν = 1.296×10^(-6) + 1.02×10^(-7)*t
　　　t は空気の温度 [℃] です。
[2]　谷下市松「伝熱工学」裳華房（1986）p.142.
[3]　1気圧の空気の 熱伝導率 kf [W/m/K] は、室温付近では次式で近似されます。
　　　　　　kf =0.0243+0.0000741*t
　　　t は空気の温度 [℃] です。
[4]　円柱の体積を V [m^3]、冷却面積（側面）を A [m^2]、円柱の熱伝導率を k [W/m/K]、熱伝達率を h [W/m^2/K] としたとき
　　　h*V/( k*A ) < 0.1
を満たせば内部の温度分布は一様とみなせます。炭素鋼（S53C）の熱伝導率の値はWebでは見つかりませんでしたが、資料 [2] に出ている炭素鋼の値は 54 W/m/K（ 0.5C以下）～36 W/m/K（1.5C）なので、45 [W/m/K] くらいとすれば、この場合、Nu = 50～95、V = 0.256×10^(-3) [m^3]、A = 0.03 [m^2] なので、h*V/( k*A ) = 0.0095～0.016 < 0.1 となって条件を見たします。谷下市松「伝熱工学」裳華房（1986）p.83.

お礼

大変参考になりました。有難うございました。
ヌセルト数と熱伝達率との関係、プラントル数と空気の室温との近似式など、ネット上では探せなかった関係が解り、大変勉強になりました。
やっぱり参考書を読まないと解りませんね。
これで、方向性ができましたので、設計をやっていくメドが付きました。今後も宜しくお願いします。
本当に有難うございました。

回答No.2

inara1

ANo.1 です。式(4)が間違っていました。以下が正しい式です（計算はこの式でやっています）。
【正】　　　T = Tc + ( T0 - Tc )*exp{ -h*S*t/( ρ*cp*V ) } --- (4)