数式の変形

質問

以下の2つの式変形がうまくいきません。
導出方法をお教えください。

(1)　aCOS^2θ+cSIN^2θ+2bSINθCOSθ=(a+c)/2+{(a-c)/2}COS2θ+bSIN2θ
(2)　λ=(a+c)/2+{(a-c)/2}COS2θ+bSIN2θでTAN2θ=2b/(a-c)の時
　　λ=[-(a+b)+{(a-c)^2+4b^2}^1/2]/2
です。
よろしくお願いいたします。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

テキスト拝見しました。
テキストの過ちでしょう。

P13の1.4.26 式の下の行に「（1.4.26 式）を直接解いたものと同じです。」と書かれています。1.4.26式を解けば
λ = [(a+c) ± {(a-c)^2-4b^2}^(-1/2)]/2
となります。
これは、λ = (a+c)/2+{(a-c)/2}cos2θ+bsin2θ に
tan2θ = 2b/(a-c)
→ cos2θ = (a-c)/{(a-c)^2-4b^2}^(-1/2), sin2θ = 2b/{(a-c)^2-4b^2}^(-1/2)
を代入したものと一致します。
1.4.25 式がおかしいのでしょう。

お礼

kumipapaさま
いろいろとありがとうございました。
親切に教えていただきすっきりいたしました。
本当に助かりました。

またの機会ございましたらよろしくお願いいたします。

回答No.2

kumipapa

（１）
左辺 = a cos^2θ + c sin^2θ + 2b sinθ cosθ
第3項は 2 sinθ cosθ = sin(2θ)　と変形
第1,2項は
sin^2θ = 1 - cos^2θ
と変形したのちに、
cos^2θ = (cos(2θ) + 1)/2
で変形して整理すれば右辺を得る。

（２）
これ、成立しません。
tan(2θ) = 2b/(a-c) ならば
(a+c)/2+{(a-c)/2}cos(2θ)+bsin(2θ) = [-(a+b)+{(a-c)^2+4b^2}^1/2]/2
が成立することを示せってことだと思うのですが、
例えば、a=3, b=√3, c=1, θ=π/6 (30°) とすると、tan(2θ) = 2b/(a-c) が成立しますが、上式の左辺と右辺の値は一致しません。

私が問題の意味を履き違えているのかも知れませんが、もう一度ご確認願えますか。

補足

kumipapaさま
並びに
A-Tanakaさま

ありがとうございます。
tan(2θ) = 2b/(a-c) ならば
(a+c)/2+{(a-c)/2}cos(2θ)+bsin(2θ) = [-(a+b)+{(a-c)^2+4b^2}^1/2]/2
であるということだと私も判断し式変形を試みたのですが、
なかなかうまくいかず自分の手法が至らないと思い質問させていただきました。
具体的な数値を代入して検算するという方法があったのですね。
主軸変換に関する内容の中で出てきたもので
http://www.slab.phys.nagoya-u.ac.jp/uwaha/notekiso1_06.pdf
の中のp13の(1.4.23)式から(1.4.25)式での変形ででてきたものです。
もう一度考えてみたいと思います。
アドバイス等ありましたらよろしくお願いいたします。

回答No.1

A-Tanaka

こんばんは。

数式がちょっと分かりづらいのですが・・・。簡単に考えてみましょう。

（１）式については、普通の因数分解と同じ手順で解けると思います。
（２）式については、両辺をSINで割るというプロセスによって、TANを導出し、そこからかなり面倒な変形になると思いますが、そこから加法定理で導出できるかと思います。

では。