再投稿: 極値と変形

質問

少々混乱していたので再投稿です。

テキストから以下、引用します
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P=(1/tanθ)・{(tanθ-tanφ')/(1+tanθtanφ')}
である。Pが極値を持つときを調べる。

Pをθで微分する。
今、t=tanθ　a=tanφ'と置く。

すると

P=f(t)=(1/t)・{(t-a)/(1+ta)}=-a/t + (1+a^2)/(1+at)

f'(t)=a/t^2 - a(1+a^2)/(1+at)^2 =0となるtは

t=tanθ=√(1+a^2) + a = √(1+tanφ'^2) + tanφ'

となる。
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★以下本題。

P = (1/tanθ)・sin(θ-φ)/cos(θ-φ-δ)
についてt=sinθと置くと、Pの極値を与えるt=tAをtanφ'とtanδを用いて表すと以下のようになる

tA = ( )

という問題です。
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上記引用を見て
T=tanθと置くと
P=f(T)=(1/T)・(sinθcosφ-cosθsinφ)/{cosθcos(φ+δ)+sinθsin(φ+δ)}

分母・分子をcos(φ+δ)で割って
P=f(T)=(1/T)・(aT-b)/(1+cT)
a,b,cはそれぞれ定数

としましたが、ここからどうしていいか分かりません

回答No.3

kou95

テキストの問題をそのまま投稿する事は著作権を侵害しており、規約違反ではないでしょうか

回答No.2

eatern27

#1です。あ、そうか、sinθを求めるんですね。
とりあえず、1+1/(tanθ)^2=1/(sinθ)^2から、(sinθ)^2を出すことは可能ですね。

とても簡単になりそうではないので(何となくですが)、私は途中で諦めましてしまいましたが、
もし、t=sinθに意味があるのなら、きっと、極値をとるときのtも綺麗な値でしょうから、上の方法で(sinθ)^2を計算してみれば、「t=sinθと置くことに意味があるのか」という事が分かるかもしれませんね。

回答No.1

eatern27

P=f(T)=(1/T)・(sinθcosφ-cosθsinφ)/{cosθcos(φ+δ)+sinθsin(φ+δ)}

分母分子をcosθで、分母のみをcos(φ+δ)で、分子のみをcosφで割ると、
P=[(1/T)(tanθ-tanφ)/(1+tanθtan(φ+δ)]*(cosφ/cos(φ+δ)

a=tanφ,b=tan(φ+δ),c=cosφ/cos(φ+δ) とおくと、
P=c*(T-a)/T(1+bT)
dP/dT=0となるTは・・・

という流れでどうでしょうか？
dP/dTの係数がa,bのみなので、dP/dT=0となるTはa,bで表す事ができます。a=tanφ,b=(tanφ+tanδ)/(1-tanφtanδ)となるので、結局、tanφ,tanδのみで表せます。

参考までに、(間違ってるかもしれませんが)
私の計算では、T=tanφ±√((tanφ+(tanφ)^3)/(tanφ+tanδ))となりました。

お礼

ありがとうございます。大変参考になりました。しかし求めたいのはSINであって、tanではないのです。誘導でsinとおいてるからにはやはりやりやすい方法があるのだと思います。Pをどのようにsinで微分するのかそれが知りたいところです。やはりtanからsinを求めるのは至難の業でしょう。