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点(X0,Y0),(X1,Y1),…,(Xn,Yn)を通るn次関数がただ一つであることの証明

n次関数の証明なのですが、 「因数定理を用いて、点(X0,Y0),(X1,Y1),…,(Xn,Yn)を通るn次関数がただ一つであることを証明せよ」という問題です。 ラグランジュの補間公式の証明みたいなのですが、ただ一つであることを証明する方法がわからなくて困っています。 具体的な考え方でもよいので、アドバイスいて頂けると嬉しいです。 よろしくお願いします

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noname#221368
noname#221368
回答No.1

　因数定理とどうつながるか、考えた事はないですが、実用的に考えれば、 　　y＝Σa(j)*x^(n－j) において（j＝0～n)、(x(i)，y(i))を代入すれば（i＝0～n）、 　　Σa(j)*x(i)^(n－j)＝y(i) 　　i,j＝0～n と、a(j)に関する連立方程式になるので、解が存在すれば一意です。 　解の存在は「因数定理から」という事になるんでしょうかね？。

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その他の回答 (1)

noname#221368
noname#221368
回答No.2

　#1です。一つ思い出した事があります。連立方程式、 　　Σa(j)*x(i)^(n－j)＝y(i) 　　i,j＝0～n を解く際には、本質的に係数行列、 　(b(ij))＝(x(i)^(n－j)) のdetを計算する事になりますが、 　det(b(ij))＝±Π(x(k)－x(L)) 　ただしk＜L になります（ファンベルモンドの行列式）。 　detの右辺の形から、因数定理につながらないでしょうか？。

monster178
質問者

お礼

ありがとうございます！ n+1個の方程式を解くことで、係数が一意に決まるということですよね。 因数定理は使わなくても良いみたいなのですが、わざわざ解答を絞り出して頂いて、大変嬉しいです。本当にありがとうございます。

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