数学II 対数計算

質問

こんにちは。僕は高校辞めて自習で数学を進めているのですが、対数関数の範囲に
おいて、わからない点があったので質問させてください。
対数計算において不明な点が多々みられました。例をあげたいと思います。

[]内は底　^は乗を表す。分数表記についてex二分の一＝1/2

例題１４７　対数関数の最大・最小
一、関数　y=(log[2]x/4)^2-log[2]x^2+6　の2≦x≦16における最大値と最小値、およびそのときのxの値を求めよ。　山口大[赤チャート　数学II]

この場合の計算ですが僕はこうやってます↓　間違ってる点を指摘してください。よろしくお願いします。三通りやってみたんですが全て違いました・・

投稿者誤解答１
y=(log[2]x/4)^2-log[2]x^2+6
=2(log[2]x/4)-log[2]x^2+6
=2(log[2]x-log[2]2^2)-log[2]x^2+6
=2log[2]x-4-log[2]x^2+6
ここで置き換えlog[2]x=tとする。
=2t-4-t^2+6
=-t^2+2t+2

投稿者誤解答２
y=(log[2]x/4)^2-log[2]x^2+6
=2(log[2]x/4)-log[2]x^2+6
=2(log[2]x-log[2]2^2)-log[2]x^2+6
=(log[2]x-logg[2]2^2)^2-log[2]x^2+6
=(log[2]x-2)^2-log[2]x^2+6
ここで置き換えlog[2]x=tとする。
=(t-2)^2-t^2+6
=t^2-4t+4-t^2+6
=-4t+10

どこがちがうのでしょうか・・・計算の上で不安な点が多々あります・・。
また次のような式変形もわかりません。
x^log[2]x=x^5/64
log[2](x^log[2]x)=log[2](x^5/64)
なぜ↑のような式変形になるのですか？
↓じゃないんですか？
x^log[2]x=x^5/64
log[2]x*x=log[2]2^x^5/64

*は掛ける。

長文ですがよろしくお願いします。

回答No.2

go272 · ベストアンサー

すみません。前の回答では十分ではありませんでした。
log[a](b^c)=c*log[a]b
を log[2]x^2 にあてはまると
2log[2](x)になります。
hyka5092さんは　t=log[2](x) とおいて
log[2](x^2)=t^2
とされていますが、これも誤りです。
log[2](x^2)=2*log[2](x)=2t
となります

回答No.1

go272

対数のところで習った公式は
log[a](b^c)=c*log[a]b
だったと思います。

hyka5092さんの解法では
(log[2]x/4)^2=2(log[2]x/4)
とされていますが、ここが誤りです。
(log[2]x/4)^2=(log[2]x/4)*(log[2]x/4)
=(log[2](x)-2)(log[2](x)-2)
となります。
また、
x^log[2]x=x^5/64・・・(1)
log[2](x^log[2]x)=log[2](x^5/64)・・・(2)
についてですが、
(1)式をA=Bとおけば
(2)式はlog[2](A)=log[2](B)
ということです。同じ数なら対数をとっても同じですよね。