定数部分が巨大な二次方程式の因数分解

質問

定数部分が巨大な二次方程式を因数分解する時どうしても時間がかかってしまいます。
今回の模試でも

2n^2-n-378=0

という方程式を解かなくてはいけなかったのですが、
解けませんでした。

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因みに答えは
(2n+27)(n-14)=0
です。
--

実際、因数分解できるのかどうかも分からないのに
因数分解に挑むのも無謀なので
解と係数の関係の公式を使ってとも思いましたが、
定数部分が大きいためルートの中の計算が大変です。

こういう場面ではどのように因数分解したほうがよいのでしょうか。
因数分解で悩むのは恥ずかしいですが、
よろしくお願いします。

回答No.7

einskaz · ベストアンサー

みなさんがしっかりした解法を紹介してますので、違う観点から解き方を考えてみたいと思います。

私が学生時代に模試でこの手の問題を解くときは、求める解が整数解であることからはなっから因数分解できるものとして二次方程式を解きます。
特に定数項が大きくて、nの係数が-1という今回のような問題はたすきがけで考えれば、１つ違いの整数の積が定数項の2倍である
756になるものを探すだけです。
私は計算が苦手なので756が何かける何なのか予測するときに計算の簡単な２乗の数字のどの間にあてはまるか考えます。
今回の場合は25の２乗と30の2乗の間に収まることがすぐにわかるので、26、27、28、29のなかで掛け合わせた時に
1の位が６になるものを探すと27*28しか残らず、実際に計算すると756になることが確認できます。
これでたすきがけの組み合わせが見つかり(2n+27)(n-14)と因数分解できるなぁとわかるわけです。

ｎの係数が2，3，4などの場合でも、それほど大きな数字でない場合は同じような感じで予測して解きます。

試験の場合は時間的な制約があり、私みたいに計算が遅い人間はやはり数字が大きなものの計算はしたくないし、
できるかぎり時間もかけてくないと思います。解法を考えるほうに時間を割きたいですしね。
参考になるかどうかわかりませんが、単純な計算問題でない場合はある程度は解を予測して計算していくことも必要だと思います。

あと、因数分解はこれまでの問題演習で培ってきた経験と閃きではないかと私は思います。

お礼

>１つ違いの整数の積が定数項の2倍である
>756になるものを探すだけです。
あ、756になるものを探せば良いんですか。
-----------------
２　２７→２７
　×
１　１４→２８
-----------------
27*28=756
成る程本当だ!
二次の係数をかけた数から差を求めるんですね。

>計算の簡単な２乗の数字のどの間にあてはまるか考えます。
>今回の場合は25の２乗と30の2乗の間に収まることがすぐにわかるので、
>26、27、28、29のなかで掛け合わせた時に
>1の位が６になるものを探すと27*28しか残らず、
>実際に計算すると756になることが確認できます。
一次の係数が小さい時に使えるテクニックってことですね。
こういう事を考えつくってすごいですね～。

>解を予測
一の位が６になるものを探す
みたいな考え方って結構使えそうですよね

参考にさせてもらいます。
ありがとうございました。

回答No.2

debut

因数分解できるかどうかわからないなら解の公式で
やってみればいいんじゃないでしょうか。

解の公式の√の中身の b^2-4ac を計算してみれば、
(-1)^2-4×2×(-378)=3025
そして素因数分解すれば
3025=5^2×11^2=55^2
となるので、方程式の解はｎ=(1±55)/4=14,-27/2と容易に
求められるような気がしますが・・
数字が大きいからといってあきらめないでやってみること
です。

お礼

おっと、解と係数の関係・・・じゃなくて、解の公式でしたね。
失礼しました。

粘り弱い性格なので直ぐに諦めてました。
ルートの中の処理は苦手なのですが練習した方が良いですね。
諦めず頑張ります。
ありがとうございました。

回答No.1

10ken16

因数定理を使うとすれば、
代入すべきは
±｛定数項の因数｝／｛最高時の係数の約数｝

定数項を因数分解すると、偶数は１つだけ。
１次の項の係数が－１（奇数）だから
（２ｎ±奇数）（ｎ±偶数）
慣れればたすき掛けでもできますが、
順繰りに偶数を±６、±１４、±１８…と
試していけばよいことが分かります

お礼

ありがとうございます。

二次式で因数定理使うのはあまり考えていませんでした！
因数定理についてもうちょっと考えてみようかと思います。