定数部分が巨大な二次方程式の因数分解

質問

定数部分が巨大な二次方程式を因数分解する時どうしても時間がかかってしまいます。
今回の模試でも

2n^2-n-378=0

という方程式を解かなくてはいけなかったのですが、
解けませんでした。

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因みに答えは
(2n+27)(n-14)=0
です。
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実際、因数分解できるのかどうかも分からないのに
因数分解に挑むのも無謀なので
解と係数の関係の公式を使ってとも思いましたが、
定数部分が大きいためルートの中の計算が大変です。

こういう場面ではどのように因数分解したほうがよいのでしょうか。
因数分解で悩むのは恥ずかしいですが、
よろしくお願いします。

回答No.13

hiccup

2n^2 - n - 378 = 0 が、整数 a、b を使って
(2n-a)(n-b) = 0　と因数分解されるとすると
a+2b=1、ab=-378
ですが、ここから
a と b は互いに素で、b の方に 2 の因数が集まっているということがいえます。したがって確かめるのは 378 の素因数
2、3、3、3、7
の組み分けを全て確かめるのではなく
2、27、7
の組み分けを確かめるだけで済みます。あとは差が 1 になるようにするのですから苦もなく見つかります。

A=2n とすると、ANo.5 さんご指摘の
A^2-A-756=0
ですが、やはり係数 1 と 756 が互いに素なので、整数解を持つならそれらは互いに素になり、上と同様にできます（同じものですが）。素因数分解に累乗があることが救いになっています。

x^2 + Mx + N = 0（M、N が整数）で、M が m で割り切れ、N が m^2 で割り切れるなら、x=mt とおくことで係数の小さい t の二次方程式に変形できます。係数が小さくなるぶん、あつかいやすいと思います。

お礼

遅くなりました。
＞2、27、7
ははぁ。
これだけ見ると見つけやすいですね。
参考になりました。
ありがとうございます。