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不等式の証明問題!
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>χ1+χ2分のχ1 せめて、(χ1+χ2)分のχ1 と書いてくれると嬉しかったなあ。 こういう問題の一つの常套手段は、χi たちの間に順序を入れることです。 つまり、 χ1≧χ2≧χ3≧・・≧χn-1≧χn と仮定しても一般性を失わないので、そうします。 (大小関係、逆でもいいですが) そうしておいて、セオリー通り、 中辺-左辺>0 右辺-中辺>0 を示せばいいです。 注意点は、 中辺の各項は、みな0より大きく1より小さいということ。 そして、 χ1/(χ1+χ2) - 1 = -χ2/(χ1+χ2) という関係ですね。 うまく正が示せるように、どれから1を引くか、1からどれを引くか、考えて下さい。 (n-1は、1をn-1個に分けるといいですね) では、頑張って下さい。
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- tecchan22
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#2です。分かったかな?#3さんのように帰納法でも出来ますが、 僕の言ったやり方は、 中辺-右辺=χ1/(χ1+χ2) + χ2/(χ2+χ3) + … + χn/(χn+χ1) - 1 = -χ2/(χ1+χ2) + χ2/(χ2+χ3) + … + χn/(χn+χ1) 【第一項から1を引いた】 >0 【χ1+χ2≧χ2+χ3 より、最初の二項の和が0以上。n≧3より、三項以上あるから、残りをあわせて正】 左辺-右辺=(n-1)-{χ1/(χ1+χ2) + χ2/(χ2+χ3) + … + χn/(χn+χ1)} = -χ1/(χ1+χ2) + {1 - χ2/(χ2+χ3)} + {1 - χ3/(χ3+χ4)} + … + {1-χn/(χn+χ1)} = -χ1/(χ1+χ2) + χ3/(χ2+χ3) + χ4/(χ3+χ4) + … + χ1/(χn+χ1) >0 【χ1+χ2≧χn+χ1 より、最初と最後の項の和が0以上。n≧3より、三項以上あるから、残りを足すと正】 です。 他にも色々出来そうですね。
お礼
親切にありがとうございます! がんばってやってみます!
- Meowth
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n=3のとき χ1/(χ1+χ2)+χ2/(χ2+χ3)+χ3/(χ3+χ1)-1 ={χ1(χ2+χ3)(χ3+χ1) +χ2(χ1+χ2))(χ3+χ1) +χ3(χ1+χ2)(χ2+χ3) )}/(χ1+χ2)(χ2+χ3)(χ3+χ1) 分母>0 分子=x1^2・x2+x2^2・x3+x3^2・x1+x1・x2・x3>0 より成り立つ。 nのときなりたつとする。 すなわち、 χ1/(χ1+χ2)+χ2/(χ2+χ3)+...+xn-1/(xn-1+xn)+xn/(xn+x1)-1>0 n+1のとき 左辺-右辺 = χ1/(χ1+χ2)+χ2/(χ2+χ3)+...+xn/(xn+xn+1)+xn+1/(xn+1+x1)-1 =χ1/(χ1+χ2)+χ2/(χ2+χ3)+...++xn-1/(xn-1+xn)+xn/(xn+x1) -xn/(xn+x1) +xn/(xn+xn+1)+xn+1/(xn+1+x1)-1 >1-xn/(xn+x1)+xn/(xn+xn+1)+xn+1/(xn+1+x1)-1 =-xn/(xn+x1)+xn/(xn+xn+1)+xn+1/(xn+1+x1) ={-xn(xn+xn+1)(xn+1+x1)+xn(xn+x1)(xn+1+x1) +xn+1(xn+x1)(xn+xn+1)}/(xn+x1)(xn+xn+1)(xn+1+x1) 分母>0 分子=-xn(xn+xn+1)(xn+1+x1)+xn(xn+x1)(xn+1+x1) +xn+1(xn+x1)(xn+xn+1) =xn^2・xn+1 + xn+1^2・x1 + x1^2・ x1・xn・xn+1>0 となり n+1でもなりたつ。 数学的帰納法により、任意の自然数>3について不等式は成り立つ
お礼
回答ありがとうございます! 頑張ってみます!
- kesexyoki
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χiというのは「χのi乗」という解釈でよろしいですか? また、χ2分のχ1は分母がχ1、分子がχ2という解釈でよろしいですか?
補足
χiはχのi乗です。 χ1+χ2分のχ1は分母がχ1+χ2、分子がχ1です。 わかりにくくてすみません(汗
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お礼
回答ありがとうございます! 頑張ってやってみます! (χ1+χ2)分のχ1と表せばよかったんですね! わかりにくくてすみませんっっ