力学問題を解く方法と無次元化の重要性
- 力学問題において、関数の相似性と係数の関係について解説します。
- 質点系の運動方程式に周期的な外力が加わった場合、その振動数に関する条件を考えます。
- LCR直列回路に加えられた電圧による電荷や電流の振る舞いと、質点系の運動方程式の相似性について説明します。
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力学問題
ふたつの関数φ(t)およびψ(t)に対し、何らかの定数a,bを用いて φ(t)=aψ(bt)のように書ける場合に「関数φ(t)と関数ψ(t)は相似 である」と言う事にする。 (a)質点Aと質点Bがそれぞれ m*(d^2x/dt^2)+γ*(dx/dt)+kx=0 M*(d^2x'/dt^2)+γ'*(dx'/dt)+k'x'=0 という運動方程式に従って運動しているとする(両者の間には 相互作用はない)。ここで、x(t)とx'(t)が相似になるためには、 係数のあいだに γ/√(mk)＝γ'/√(Mk') という関係が成り立つ必要があることを示せ。 (b)上記(a)の運動方程式に、さらに周期的な外力が加わった場合 を考える。Aに加わる外力の振動数ωとし、Bに加わる外力の振動 数をω'とする。このとき、x(t)とx'(t)が相似になるためには、 外力の振動数に関してどのような条件が必要か？ また別に、LCR直列回路に電圧Vex=V'cosΩtが加わった場合を考え、このときの電荷Qについての(または電流Iについての)常微分方程式をたてる。この電気回路の常微分方程式の解がこの質点系の 運動方程式の解と相似になるための条件を示せ。 この(a)(b)の問題が考えてもどのように解くのか全く分かりません でした。どうか教えてくださいお願いします。 (a)については無次元化がわからないです
- tarepan
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(a)のケースです。 次の文はhttp://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/2044/math5.htmlよりの引用です。 「基礎方程式の中に現れる物理量を無次元化したときに方程式の中に残る無次元パラメータの各値がそれぞれ等しい場合に物理的に（あるいは力学的に）相似であるという。このとき、二つの系について場の量が座標と時間の本質的に同一な関数で表される。」 そこで無次元化ということですが、これは全ての変数に対して、固有尺度をスケールにして新しい変数に変換するということで、具体的に、例えば時間や長さはそれぞれ固有の時間、固有の長さを尺度として測りなおすということだと思います。そこで、固有の時間をT、固有の長さをLとし、τ=t/T、X=x/Lと変数変換するとこれらの変数は無次元変数（同じ次元で割り算していま）ということになります。 m*(d^2x/dt^2)+γ*(dx/dt)+kx=0を無次元化するにはtの代わりにτ、xの代わりにXの方程式となればよいことになりますね。具体的に計算すると m*d^2x/dt^2=m*d^2(XL)/d(τT)^2=(mL/T)d^2X/dτ^2、γ*(dx/dt)=(γL/T)(dx/dτ)、kx=kLX となりますから、整理すると d^2X/dτ^2＋（γT/m)dX/dt＋（ｋT^2/m)X=0 が得られます。 同様にτ'=t/T、X'=x'/LとおいてM*(d^2x'/dt^2)+γ'*(dx'/dt)+k'x'=0に代入し、整理すると d^2X'/dτ^2＋（γ'T'/M)dX'/dt＋（ｋT'^2/M)X'=0 最初の文章に戻って、2つの方程式が相似ということは無次元パラメータの各値が等しいということですから γT/m=γ’T'/M、ｋT^2/m=ｋT'^2/M これから γ/√(mk)＝γ'/√(Mk') が導かれます。 (b)のケースは上をベースにご自分でフォローしてください。その際、ココ↓のサイトの「無次元化と固有尺度」のレポートは大変参考になると思います。 http://www4.pf-x.net/~arataka/wiki/index.php?%CE%CF%B3%D8%B7%CF
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- connykelly
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(a)のケースです。 次の文はhttp://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/2044/math5.htmlよりの引用です。 「基礎方程式の中に現れる物理量を無次元化したときに方程式の中に残る無次元パラメータの各値がそれぞれ等しい場合に物理的に（あるいは力学的に）相似であるという。このとき、二つの系について場の量が座標と時間の本質的に同一な関数で表される。」 そこで無次元化ということですが、このことについての物理的意味の分かりやすい解説はココ↓http://web.sfc.keio.ac.jp/~masudako/class/geoinfo/dimension.html に載っていますので見ていただくとして、計算上のテクニックですが、これは全ての変数に対して、固有尺度をスケールにして新しい変数に変換するということ、具体的には例えば時間や長さはそれぞれ固有の時間、固有の長さを尺度として測りなおすということだと思います。そこで、固有の時間をT、固有の長さをLとし、τ=t/T、X=x/Lと変数変換するとこれらの変数は無次元変数（同じ次元で割り算していま）ということになります。 m*(d^2x/dt^2)+γ*(dx/dt)+kx=0を無次元化するにはtの代わりにτ、xの代わりにXの方程式となればよいことになりますね。具体的に計算すると m*d^2x/dt^2=m*d^2(XL)/d(τT)^2=(mL/T)d^2X/dτ^2、γ*(dx/dt)=(γL/T)(dx/dτ)、kx=kLX となりますから、整理すると d^2X/dτ^2＋（γT/m)dX/dt＋（ｋT^2/m)X=0 が得られます。 同様にτ'=t/T、X'=x'/LとおいてM*(d^2x'/dt^2)+γ'*(dx'/dt)+k'x'=0に代入し、整理すると d^2X'/dτ^2＋（γ'T'/M)dX'/dt＋（ｋT'^2/M)X'=0 最初の文章に戻って、2つの方程式が相似ということは無次元パラメータの各値が等しいということですから γT/m=γ’T'/M、ｋT^2/m=ｋT'^2/M これから γ/√(mk)＝γ'/√(Mk') が導かれます。 (b)のケースは上をベースにご自分でフォローしてください。その際、ココ↓のサイトの「無次元化と固有尺度」のレポートは大変参考になると思います。 http://www4.pf-x.net/~arataka/wiki/index.php?%CE%CF%B3%D8%B7%CF
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