マーク模試に関する質問。

質問

こんばんは。
10月の河合の全統マークの数学2Bの問題でわからないところがあったので質問します。
回答よろしくお願いします。（【　　】は答えです。）

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第１問

〔２〕
aはa>0,aキ0を満たす定数とし、xの関数　f(x)=log[a](x-1)/2+log[a](x-2) を考える。
対数の真数は正だから、かんすうf(x)の定義域は
x＞【　2　】　・・・・・・・・（※）　である。

(1)　省略。

(2) xの方程式 f(x)=1 ・・・・・・・（※※）
を考えよう。

log[a^2](x-2)=【　1　】/【　2　】log[a](x-2)
であるから（※※）は
【　2　】log[a](x-1)/2+log[a](x-2)=【　2　】
と変形できる。

さらに、これは(※）のもとで
1/【　4　】(x-1)^2(x-2)=a^2
と変形できる。

この左辺をg(x)とおくと、(※)の範囲においてxが増加するとｇ（ｘ）も増加する。
ここで、（※※）の実数解をｐとする。0＜a＜1のとき、ｐのとる値の範囲は
【　2　】＜p＜【　3　】

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この問題で1/4(x-1)^2(x-2)=a^2　までは答えにたどり着くことができましたが、
模試の解答を見ても、最後の問題のｐのとりうる値の範囲の求め方がよくわかりませんでした。
ｐの範囲をどのようにして求めるのかを教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

nettiw · ベストアンサー

>> a>0, a≠1
>> x>2
>> ｛log[a](x-1)/2｝+｛log[a^2](x-2)｝=1
>> 2*｛log[a](x-1)/2｝+｛log[a](x-2)｝=2
>> (1/4)｛((x-1)^2)(x-2)｝=a^2
>> g(x)=(1/4)｛((x-1)^2)(x-2)｝
>> h(x)=a^2

g'(x)=(1/4)｛(x^3)-4(x^2)+5x-2｝'
　　　=(1/4)｛3(x^2)-8x+5｝
　　　=(1/4)(x-1)(3x-5)
　　　　　または、
g'(x)=(1/4)｛2(x-1)(x-2)+((x-1)^2)｝
　　　=(1/4)(x-1)(2x-4+x-1)
　　　=(1/4)(x-1)(3x-5)

x=1で極大、x=5/3で極小、x>2では単調増加。

　　　0＜a＜1
　　　0＜a^2＜1

　　g(x)=(1/4)｛((x-1)^2)(x-2)｝=0
　　　　　x=2・・・（１）

　　g(x)=(1/4)｛((x-1)^2)(x-2)｝=1
　　　　　　　　　｛((x-1)^2)(x-2)｝=4
　　　　　　　　(x^3)-4(x^2)+5x-2=4
　　　　　　　　(x^3)-4(x^2)+5x-6=0

　f(x)=(x^3)-4(x^2)+5x-6 と置いて、
　f(3)=27-36+15-6=0
　f(x)=(x-3)｛(x^2)-x+2｝
　　　　　x=3・・・（２）

（１）、（２）より　　2＜p＜3

回答No.2

noname#47894

y=g(x)　と　y=a^2　のグラフの交点が（p，a^2)で（実際にその絵を描くとイメージしやすい）、このときg(p)=a^2となってますね。
y=1/4(x-1)^2(x-2)　は、（1,0）でｘ軸に接して、(2,0)を通る３次関数です（右上がり）。
y=a^2　は、横一本の直線で、0<a^2<1　の範囲を動きます。
そのとき、二つのグラフの交点のx座標が、どの範囲にあるかを調べればよいことになります。

で、x>2では単調増加なので（そのような誘導もあることですし）
0<g(x)<1　を解けばよいことになりますね。

0<1/4(x-1)^2(x-2)<1　より　0<(x-1)^2(x-2)<4

0<(x-1)^2(x-2)<　からは、x>2　が、
(x-1)^2(x-2)<4　からは、x<3　が出てきます。きっと。
（マークなので、適当に代入していく方が速いことがあります）

回答No.1

debut

(※)の範囲においてxが増加するとｇ(ｘ)も増加する、と
いっているし、0＜a＜1のとき0＜a^2＜1なので、
1/4(x-1)^2(x-2)=a^2　の実数解はa^2=0のときより大きくて
a^2=1のときよりは小さくなります。
a^2=0のとき、
　1/4(x-1)^2(x-2)=０　とｘ＞２より、ｘ＝２
a^2=1のとき、
　1/4(x-1)^2(x-2)=１
　(x-1)^2(x-2)=4
　x^3-4x^2+5x-6=0
　(x-3)(x^2-x+2)=0 とｘ＞２より、ｘ＝３
よって、求める実数解は２より大きく３より小さい。