関数f(x)の作り方

質問

次の条件を満たす関数を用意したいのですが、できません。
3次関数y=f(x)において
1.3次の係数は1
2.k(定数)=f(1)>0
3.f(-1)=-k
4.f(x)は区間-1<x<1において極大値kをとる
5.f(x)は区間-1<x<1において極小値-kをとる

x1をf(x1)=k -1<x1<1
x2をf(x2)=-k -1<x2<1として
f(x)-k=(x-x1)^2(x-1)
f(x)+k=(x-x2)^2(x+1)
とすれば個々の性質は満たすのですが、この2式の連立からなどして、1～5の性質をすべて満たす1つの関数が作れません。作り方を教えてください。

回答No.2

nettiw · ベストアンサー

>>　　　　k>0
>>　　f(x)=(x^3)+a(x^2)+bx+c

>>　　f(1)=1+a+b+c=k・・・（１）
>>　　f(-1)=-1+a-b-c=-k・・・（２）

（１）＋（２）
a+c=0　→　c=-a
1+b=k　→　b=k-1
a=c=0　として、

f(x)=(x^3)-(1-k)x

　　f'(x)=3(x^2)-(1-k)=0
　　1-k>0
　　0<k<1・・・（３）
　　x=√{ (1-k)/3}、-√{ (1-k)/3}
　　（３）より、｜x |<１

f(x)=(x^3)-(1-k)x

　　f(√{ (1-k)/3} )=-k
　　√{ (1-k)/3 }*[ { (1-k)/3 } -(1-k)]=-k
　　√{ (1-k)/3 }*2*(1-k)=3k
　　{ (1-k)/3 }*4*{ (1-k)^2 }=9(k^2)
　　4*{ (1-k)^3 }=27(k^2)
　　4*{ 1-3k+3(k^2)-(k^3) }=27(k^2)
　　4-12k+12(k^2)-4(k^3)=27(k^2)
　　4-12k-15(k^2)-4(k^3)=0
　　4(k^3)+15(k^2)+12k-4=0
　　(4k-1){(k+2)^2}=0
　　k=(1/4)

f(x)=(x^3)-(3/4)x

回答No.3

noname#101087

この行状は、3 次のチェビシェフ多項式 C3(x) ですね。
つまり、x1, x2 にて極値 (-1 または +1) をとり、端点(x = -1 または +1) にて極値と同じ値になる。

まず、x1, x2 にて dC3(x)/dx = 0 。
つまり、dC3(x)/dx = 3H(x-x1)(x-x2) 。(H は最高次係数)

C3(x) に -1 または +1 を加算したものは、極大または極小にて二重零点、端点にて単一零点。
つまり、{C3(x)-1}{C3(x)+1} = H{(x-x1)^2}{(x-x2)^2}(x-1)(x+1)。

上記の二式から、SQRT[{C3(x)^2-1}/(x^2-1)] = (1/3){dC3(x)/dx}
つまり、3*dx/SQRT(x^2-1) = dC3(x)/SQRT{C3(x)^2-1}

指数(三角)関数を使って解くことができ、#2 さんの結果になります。
お試しのほどを。

回答No.1

age_momo

用意するだけなら簡単です。
まず、原点で点対称なら何でもいいので例えば

f(t) = (t+1)t(t-1)=t^3-t

を考える。これはt = ±1/√3で極値±2/(3√3)を持つ。(複号順不同)
また、

g(t) = t^3-t-2/(3√3) = 0

を考えるとこれは(t+1/√3)＾2で因数分解できる。よって

g(t) = (t+1/√3)＾2(t-2/√3)

結局、元のf(t)は極値をt=±1/√3でとり、その極値と同じ値をt=±2/√3でとる。
なので、t=2x/√3を代入すると

f(x) = 8/(3√3)x^3 - 2x/√3

これでx=1で極値と同じ値が出る関数ができる。最後にx＾3の係数が1なので
8/(3√3)で割って

h(x) = x^3 - 3x/4

これでh(1) = -h(-1) = 1/4
h(-1/2) = -h(1/2) = 1/4

となります。(k=1/4)