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次の２次函数極大・極小の問題が分かりません。
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- daisuke509
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#2です。 A#2で書いた(1)',(2)'の5つの実解の組が停留点（極大点、極小点）の候補ですが、 A#2に書いた参考URLの判別法を適用すれば (x,y)=(0,0)でΔ>0,A<0なので極大値0を取り (x,y)=(-3,3)および(3,-3)でΔ>0,A>0なので極小値-16を取る。 (x,y)=(1,1),(-1,-1)ではΔ>0,A>0なので極大、極小とならない（いわゆる鞍点）。
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- alice_44
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「判定法」ってのは、大概、棒暗記に失敗して 判定を間違える。 二次方程式の実数解の有無すら、間違える人がいるからね。 多変数関数の停留点を分類するときには、テーラー展開の二次項を 二次形式の標準形へ変形しているんだ ということを常に意識する。 毎度、係数行列の対角化を 実際に行ったほうがよい。
- info22_
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停留点は ∂f/∂x=0 かつ ∂f/∂y=0 から求められます。 >(1)、(2)の連立方程式が解けなく先にすすめません。 (1)、(2)をゼロとおいた連立方程式がを解きます。 #1さんも言われているように方程式をよく観察して、x,yの対称性に気がつけば 簡単に解けますよ。 (1),(2)から x^3－5x＋4y=0 (1)' y^3－5y＋4x=0 (2)' これを解けば実数解は (x,y)=(0,0),(1,1),(-1,-1),(3,-3),(-3,3) の5通りのみ。 後は、停留点で極値をとるかの判別法を使うだけです。 判別法は参考URLの定理6.7など参照して下さい。
- spring135
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(1)+(2)＝0、(1)-(2)＝0 を作ってとく。 対称式だから簡単。 (1)+(2)＝0から (x+y)(x^2-xy+y^2-1)=0 (1)-(2)＝0から (x-y)(x^2+xy+y^2-9)=0 を得る。 QED
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よかったら求められる候補点を書いてくれると嬉しいです。