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「f(x)=x^3-3ax+b(a,bは定数、a>
「f(x)=x^3-3ax+b(a,bは定数、a>0)という 3次関数について f(x)がx=αで極大、x=βで極小となるとき f(α)-f(β)を求めよ。」という問題の解答に、 「f'(x)=0の解がα、βであり、 x^3の係数1は正であるからα<β よって、α=-√a, β=√a」 とあるのですが、 「x^3の係数1は正であるからα<β」と言い切れるのは何故ですか? 理屈というか、そうなる理由がよくわからないので教えて頂きたいです。よろしくお願いします。 ※質問文でわかりづらいところがあれば出来る限り 対処しますので、指摘をお願いします。
- Gibraltar520
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この問題に限定すれば、No.1さんとNo.2さんの説明で可と思います。 しかし、n次関数のグラフの基本となる特徴を確認し、今後に役立ててもらいたいと思い回答いたします。 【奇関数 か 偶関数 か 】 その式の最高次数 n が奇数のとき、奇関数といい1次関数が基本となります。 変化の割合 a の正負によって右上がりか右下がりとなります。変数xが -∞ から +∞と変化するとき、a>0 なら -∞ から +∞ 、a<0 なら +∞ から -∞ へと変数 yは変化します。 n=3 のときの3次関数も大まかにいって同様です。 その式の最高次数 n が偶数のとき、偶関数といい2次関数の放物線が基本となります。 比例定数 a>0 のとき、グラフは上に開いた形になり、a<0 のときは下に聞いた形になります。つまり、変数xが -∞ から +∞と変化するとき、a>0 なら +∞ からきて+∞ヘ戻り 、a<0 なら -∞ からきて -∞ へ戻るように変数 yは変化します。 n=4 のときの4次関数も大まかにいって同様のグラフになります。 上記の奇関数か偶関数かをふまえてから、f′=0 となる極大値、極小値を順番に考えていけばいいのです。勿論、f"=0 となる変曲点には気をつけましょうね。
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- asuncion
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添付の画像をごらんください。 3次の係数が正ですから、グラフは、左下から上がってきて 極大値を取り、その後、右下へ下がって極小値をとり、その後、 右上へ上がっていきます。 従って、極大値をとるxの値αの方が、極小値を取るxの値βよりも 小さいです。
お礼
確かに、この場合グラフが全体的に右上りですね! 納得できました。回答ありがとうこざいました。
- f272
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f(x)=x^3-3ax+bはx=-∞でf(x)=-∞,x=∞でf(x)=∞になることは分かりますか? 関数の値の増減だけを考えればx=-∞からxが大きくなるにつれてf(x)は(右上矢印)(右下矢印)(右上矢印)と変化します。 つまりf(x)が極大となるxの方がf(x)が極小となるxよりも小さいのです。
お礼
一緒にグラフの形を考えてみたら理解できました。回答ありがとうこざいました。
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お礼
こうなっているのですね、とてもすっきりしました!今後に役立てたいと思います。 丁寧に教えていただき、ありがとうございました。