2005年度東大文系の入試問題

質問

0以上の実数s,tがs^2+t^2=1を満たしながら動くとき、
方程式 X^4ー2(s+t)X^2+(s-t)^2=0
の解のとる値の範囲を求めよ。

これは東大の2005年度の文系の入試問題ですが
解答をみてもわかりません。どなたか詳しく教えてください。

回答No.2

noname#47894

対称式が与えられているので、s+t＝k　st＝m　と二つ式を立てればいいのですが、この問題は　(s-t)^2＝2(s^2＋t^2)－(s+t)^2　ですから、(s-t)^2＝2－(s+t)^2　となり、st　のほうは考えなくて良いので（「東大の情け」ですかね）、 s+t　の値の範囲を調べます。

s^2+t^2=1　がs-t平面上で、円の方程式を表すのは知っていますね？
0以上の実数s,t　という条件から、円の右上1/4（端も含む）を表しています。直線 s+t=k が、その円弧に接触するように動くとすると、1≦k≦√2　であるとわかります（これは、教科書の例題レベルです）。

X^4－2(s+t)X^2+(s-t)^2=0　は、X^4－2kX^2+2-k^2=0　（ただし1≦k≦√2）ということになります。

ここで、あるｋに対して実数Xが存在しているという関係を逆に考えると、Xからkへの対応も存在するはずですね。
だから求めるXの範囲に属するXに対しては、1≦k≦√2を満足するｋが（一つとは限りませんが）見つかるはずですよね？
よって、これをｋについての2次方程式とみなして、Xが実数の時、これが1≦k≦√2で実数解をもつ条件を考えることにします。

解きにくいので、k^2＋2kX^2－2－X^4=0　となおして、
f(k)＝k^2＋2kX^2－2－X^4　とおいて、y=f(k)が、1≦k≦√2　でｋ軸と一回以上交わる条件を考えます。

y=f(k)の頂点は、（-X^2、-2X^4-2）　
Xは実数より　X^2≧0　なので、頂点は、y軸上の負の領域か　または、第３象限にある。
よって、y=f(k)が、1≦k≦√2　でｋ軸と一回以上交差するには、
f(1)≦0、かつf(√2)≧0　であればよいので、-X^4+2X^2-1≦0（１）　かつ　2√2X^2－X^4≧0（２）　であればよい。

あとはできますね？（計算は自分で確認を）

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No.1のような方法でもいけるとは思いますが、放物線の頂点（のm座標）の存在範囲を出すことになります（値域ではありません）。文字が多いので、実際は困難だと思われます（やってみたわけではありませんが．．．）。
なお、「s＋t＝m、st＝n（0≦m≦1、0≦n≦1、m＾2-4n≧0）と置くと」の　「0≦m≦1、0≦n≦1」　は良くありません。例えばs=t=√2/2　とすると、m=√2　となり、反例が容易に見つかります。また、n=1　のとき、対応すべき実数s,tは存在しません。

補足

わかりません。もっとやさしくお願いします。