２次関数の問題です・・・

質問

方程式|x＾2-x-2|-x+ｋ=0の実数解の個数が3個以上となるような実数kの値の範囲を求めよ

全く分かりません。宿題に出され、黒板で解答を書かなければならないのですが
答えられそうにないです。お手数かけますがよろしくお願いします。

回答No.1

springside · ベストアンサー

まず、与式をk=-|x^2-x-2|+xと変形します。
２つのグラフ、y=-|x^2-x-2|+x(=f(x)と置く)とy=kの交点の個数が実数解の個数になります。

x^2-x-2=(x-2)(x+1)なので、
　-1≦x≦2のとき、x^2-x-2≦0
　x≦-1,2≦xのとき、x^2-x-2≧0
となるから、
　-1≦x≦2のとき、
　f(x)=-{-(x^2-x-2)}+x
　=x^2-2
　x≦-1,2≦xのとき、
　f(x)=-(x^2-x-2)+x
　=-x^2+2x+2=-(x-1)^2+3
になります。

あとは、-1≦x≦2のときとx≦-1,2≦xのときに分けてグラフを描き、そのグラフと
y=k(これはx軸に平行な直線)の交点が３個以上になるようなkを求めればOKで、
答は-2≦k≦-1になります。

お礼

遅くなってすみません。おかげ様で何とか間に合いました。
本当にありがとうございました。

回答No.2

gohtraw

まず、絶対値符号の中の正負を考えます。
x^2-x-2=(x-2)(x+1)
ですから、
x<=-1、2<=xのとき０以上なので、|x^2-x-2|=x^2-x-2
-1<x<2のとき負なので、|x^2-x-2|=-x^2+x+2
となります。これを元の方程式に代入すると
x^2-2x+k-2=0 (x<=-1、2<=x)
-x^2+k+2=0 (-1<x<2)
となります（方程式A)。これらに対して
y=x^2-2x+k-2 (x<=-1、2<=x)
y=-x^2+k+2 (-1<x<2)
というｘの関数を考えると、これらはx=-1および２で極小値をもち、その値はそれぞれk+1、k-2です。このグラフを書いてｘ軸の位置をいろいろ動かしてその位置関係を調べると、
（１）k-2>0のとき、接点、交点なし
（２）k-2=0のとき、x軸と一点で接する
（３）k-2<0<k+1のとき、x軸と二点で交わる
（４）k+1=0のとき、ｘ軸と二点で交わり、一点で接する
（５）k+1<0のとき、x軸と四点で交わる（但し、y=-x^2+k+2のグラフの頂点がx軸より上にある場合）
（６）k+1<0のとき、ｘ軸と二点で交わり、一点で接する（但し、y=-x^2+k+2のグラフの頂点がx軸上にある場合）
（７）k+1<0のとき、x軸と二点で交わる（但し、y=-x^2+k+2のグラフの頂点がx軸より下にある場合）
となり、問題の条件を満たすのは（４）～（６）であることが判ります。カッコ内の「但し」の部分に出てくるy=-x^2+k+2のグラフの頂点は(0,k+2)なので、ｋの満たすべき条件はk+1<=0およびk+2>=0、つまり-2<=k<=-1です。

お礼

遅くなってすみません。詳しい解説ありがとうございました。