リベンジ：東大入試（ただし文系でも解ける）っぽい問題

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3593191.html
で、東大入試っぽい問題を、自作して、自分で解けなかったので、くやしーので、
自分でちゃんとといて問題を作ってみました。

高校の「文系」数学の範囲で解けます。つか、自分文学部出身です。
ただちょっと、自分の解答、ちょと表現として、うまく説明できない部分がありますが・・・。

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p,q,r,sは、全て、1,3,5,7の中のいずれかの数値である。
なお、p,q,r,sの中で同じ数値が存在してもかまわないものとする。

4096 / ( (p + q + r + s)^2 ) が整数となるときの、
p,q,r,sの取り得る値は何通りあるか、答えよ。
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どでしょ？　またポカしちゃうかな・・・？？？

回答No.1

abyss-sym · ベストアンサー

p≦q≦r≦s とする。
4096=2^(12) だから分子は2^kになればいい。
したがって、p+q+r+s=4,8,16

p+q+r+s=4 のとき
(p,q,r,s)=(1,1,1,1)
p,q,r,sの並び方を考えて
→1通り

p+q+r+s=8 のとき
(p,q,r,s)=(1,1,1,5),(1,1,3,3)　
→4+6=10通り

p+q+r+s=16 のとき
(p,q,r,s)=(1,1,7,7),(1,3,5,7)(1,5,5,5),(3,3,3,7),(3,3,5,5)
→6+24+4+4+6=44通り

したがって、1+10+44=55通り

合ってますか？
東大というほどのレベルではないと思いますよ。

お礼

ご回答ありがとうございます。

ずばり、合ってます。

・・・というか、4096なんてベタな数字を出したのが失敗でした。
最初は、分子も（a + b + c ) ^ ？とかいろいろ考えてたんですけどね・・・
なんだか冗長な解答になりそうな気がして、気を抜いてしまいました・・・。

ちなみに、4096が2^12だと分からない人を前提にして、
自分は解いてみました。

ま、ご回答の２行目以外は全て同じですが・・・。
なんというか、赤本的な解答で解いてみました。

しかし、自分、計算ミスしてしまった・・・。５点マイナスだなこりゃ・・・じぶん。

一応、自分の解き方は、まだ、伏せておきます。

あ、でも、東大でも文系の数学って、ラッキー問題は結構こんなもんですよ。

ともあれ、ありがとうございました。

補足

やっぱり簡単すぎましたね・・・ということで、自分の回答です。
長いかもしれませんが、悩まず一気に計算しました。

p≦q≦r≦s とする。

このとき、4096 / ( ( p + q + r + s)^2 ) ≦ 4096 / (4*p)^2 ≦ 4096 / (4*1)^2 = 4096 / 16 = 256 ・・・（１）

また、1,3,5,7から任意の４つの数字を選んだ場合（４つの数字の中に一致するものがあってもかまわないもとする）、
その４つの数字の合計を、Rとおく。

このとき、Rの取り得る値は、4,6,8,10,12,14,16,18,20,24,26,28 のみである。・・・（２）

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【私的注記】
入試だとすると、（２）の根拠が不十分かもしれないため、下に、丁寧に根拠を書いてみる。
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p≦q≦r≦s とする。

また、
1 = 1
3 = 1 + 2
5 = 3 + 2
7 = 5 + 2
である。

Ｒ のとりうる値として、最小値が4であることは自明。（p=q=r=s=1のとき）・・・（Ａ）

また、
(i)p≠7の場合

「Ｒ のとりうる値」として g が存在するとき、
p + 2 は、3,5,7のいずれかである。
よって、「Ｒ のとりうる値」として、g + 2が存在する。・・・（Ｂ）

(ii)p＝7の場合

P = q = r = s = 7となり、Ｒ = 28 である。そして、これが、Ｒのとりうる値の最大値であることは自明である・・・（Ｃ）

以上（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）の結果、数学的帰納法により、
「Ｒ のとりうる値」の一部として、4,6,8,10,12,.....26,28（４以上２８以下の偶数すべて）が得られる。
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また、
4^2=16,6^2=36,8^2=64,10^2=100,12^2=144,14^2=196,15^2=225,16^2=256である。・・・（３）

また、
4096/16,4096/36,4096/64,4096/100,4096/144,4096/196,4096/225,4096/256
のうち、整数で割りきれるものは、
4096/16、4096/64、4096/256 のみである。・・・（４）

∴（１）、（２）、（３）、（４）より、p+q+r+sは、4,8,16のいずれかである。

以下は、＃１さんの回答と同じです。

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ふと思いついた、ほかの別解

p≦q≦r≦s とする。

このとき、4096 / ( ( p + q + r + s)^2 ) ≧ 4096 / (4*p)^2 ≧ 4096 / (4*1)^2 = 4096 / 16 = 256 ・・・（１）
∴4096 / 256 ≧ (p + q + r + s)^2 ⇔ 16 ≧ p + q + r + s

以下はまあ、お好きなように・・・。

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ありがとうございました。