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高校数学の方程式の問題
xの方程式 x^4+ax^2+4=0 が相異なる4つの実数解をもつとき、実数aの値の範囲を求めよ. (模範解答) x^4+ax^2+4=0 …(1) t=x^2 とおくと (1) ⇔ t^2+at+4=0 …(2) tが t<0, t=0, t>0 のときの相異なる実数xの個数は、それぞれ 0, 1, 2 個であるから、 ”(1)が相異なる4実数解をもつ” ⇔”(2)が相異なる正の2実数解をもつ” ⇔((2)の判別式)>0 かつ ...... ...... と続くのですが、 問題文に「相異なる4つの実数解をもつ」とあるので、「t=x^2 とおくと」の所で t≧0 という条件を言わなくていいのですか(∵実数の二乗は0以上)？？ のちに、t>0 という条件が示されるから、必要ないのですか？ あるいは、「相異なる4つの実数解をもつ」は文字置き換え(x→t)のときの条件変換には含まれないのですか？
- second373
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- naniwacchi
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t=x^2≧0は、あった方が丁寧ですね。 次の行でのtの場合分けで、その辺りは保障されています。 解全体（実数解＋複素数解）の議論をして、その中でも実数解だから・・・ という論証が展開されている構図になります。 またその後でも、よく見ると、 ”(1)が相異なる4実数解をもつ” ⇔”(2)が相異なる正の2実数解をもつ” ⇔((2)の判別式)>0 かつ ..... の2行目に「正の」2実数解をもつという記述もありますね。 抜けているからダメというわけではないですが、抜けていてもきちんと保障されているので問題はないと思います。
- yskfr
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言う必要あると思いますよ。 俺ならt=x^2≧0なのでt<0の時は調べる必要なしみたいな感じで解答書くと思います。
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