三角関数の問題について

質問

「a,cを実数とし、関数f(x)=√3sinx+2cos²x/2, g (x)=x²-2ax+1を考える。また、方程式 f(x)=cが0≦x≦πで異なる2つの解をもつようなcの値の範囲を求めよ。また、方程式 g(f (x))=0が0≦x≦πで異なる3つの解をもつようなaの値の範囲を求めよ。」
この問題の解答（解き方）が分からなくて困っています。是非教えてください。よろしくお願いします。
ちなみにこの問題は2011年度の南山大学の入試問題です。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

f(x)=√3sin(x)+2cos²(x/2)=√3sin(x)+cos(x)+1
=2{(√3/2)sin(x)+(1/2)cos(x)}+1
=2{sin(x)cos(π/6)+cos(x)sin(π/6)}+1
f(x)=2sin(x+π/6)+1 (0≦x≦π) …(1)
このグラフを描くと添付図のようになる。
f(x)=cが異なる２つの解を持つための条件は、2つのグラフが異なる２つの交点を持てばよいから
　2≦c＜3 …(2)　←(答え)
を満たせばよい、

次に、範囲0≦x≦πで
添付図のy=f(x)グラフから　
0≦y=f(x)≦3で交点を持ち
0≦y=f(x)＜2およびf(x)=3で交点を1個、
2≦y=f(x)＜3で交点を2個持つことが分かる。

従って、範囲0≦x≦πでg(f(x))=0が異なる３つの解を持つ
ための条件は
g(x)=x^2-2ax+1=0が異なる2つの実数解を持ち、かつ
1つの解xが「0≦x＜2またはx=3」を満たし、もう１つの解xが
「2≦x＜3」を満たすこと
である。

ここで
g(x)=(x-a)^2 +1-a^2　 …(3)
g(x)=0が1≦x≦3に異なる２つの実数解を持つ条件から
1-a^2<0 → a<-1,a>1
g(0)=1>0,g(3)=-6(a-5/3)≧0 → a≦5/3
0<対称軸x=a<3
まとめて　1<a<5/3　…（4)

aが(4)を満たすとき
g(2)=-4(a-5/4),
g(2)=0のとき a=5/4,
　g(x)=(x-2)(x-1/2)=0とするx=1/2,2
g(3)=0のとき a=5/3
　g(x)=x^2-(10/3)x+1=(x-3)(x-1/3)=0とするx=1/3,3
であることを考慮すれば
0≦x≦πでg(f(x))=0を満たす異なる３個の解が存在するaの条件は
「g(2)=-4(a-5/4)=0　→a=5/4」
または
『「g(2)=-4(a-5/4)<0 →a<5/4」
かつ
「g(2)=-4(a-5/4)≦0かつg(3)=-6(a-5/3)>0」』
整理すると
∴5/4≦a＜5/3 …(5) ←（答え）

回答No.3

USB99

訂正
6/兀でなく兀/6.
最後はg(0)>0

回答No.2

USB99

√3sinX+2cos∨2(X/2)=√3sinX+cosX+ 1(半角公式)
=2(sinX√3/2+cosX・1/2)+ 1=2sin(X+6/π)+1
6/兀≦X+6/兀≦7/6πより
1/2くsin(X+ 6/π)<1の時、2つの解をもつ
よって2<c<3の時2つの解がある。

-1/2<sin(×十6/兀)<1/2で1つの解をもつ
よって0<C<2で1つの解。
よってg(X)の1つの根が0~2にあり、もう1つが2~3にあれば
3っの解をもつ。g(x)は下に凸だから
g(3)>O
g(2)<0
g(1)>Oとなるaを求めればいいかと。
違ったらゴメン

回答No.1

shintaro-2

>方程式 f(x)=cが0≦x≦πで異なる2つの解をもつようなcの値の範囲を求めよ。

f(x)=√3sinx+2cos²x/2

これを、倍角の公式でcosのみの式に変形するところから始まります。