三角関数

質問

aを実数とする。　θ　に関する方程式　　2cos 2θ + 2cos θ + a = 0 について

( 1 ) t = cos θ として、この方程式を t と a で表せ。
( 2 ) この方程式が解 θ を、　0 ≦ θ ＜ 2 π　の範囲で4つもつための、aのとり得る値の範囲を求めよ。

( 1 ) 2 cos 2θ + 2cos θ + a = 0
4 cos^2 θ + 2 cos θ + a - 2 = 0
t = cos θ とおいて
4t^2 + 2t + a - 2 = 0

( 2 )
( 1 ) より
a = - 4t^2 - 2t + 2　として、y ＝　- 4t^2 - 2t + 2 と
y = a の共有点が | t | ＜　1 に2つ ( 異なる )　存在するような a を求めればよい。 ・・・・・・・★

y = - 4t^2 - 2t + 2
　= - 4 ( t + 1/4 )^2 + 9/4

よって、求める a は　　0 ＜ a ＜ 9/4

これの ( 2 ) の　「 この方程式が解 θ を、　0 ≦ θ ＜ 2 π　の範囲で4つもつための、aのとり得る値の範囲　」を求めるのに、
★の　「 y = a の共有点が | t | ＜　1 に2つ ( 異なる )　存在するような a を求めればよい。」になるのでしょうか？
なぜ4つ求めるのに 2つでいいんですか？教えてください。
問題文が 2 cos 2 θ だからですか。。。？

回答No.3

info22 · ベストアンサー

t=cosθ=1/2
は　0≦θ＜2πに　解をいくつ持ちますか？
θ=π/3, 5π/3 の２つありますね。
t=cosθ=1/2とt=cosθ=-(√3)/2の2つのtに対して解θはいくつありますか？
0≦θ＜2πの範囲では
θ=π/3, 5π/3, 5π/6, 7π/6と4個になりますね。

|t|<1を満たす異なるtが２つあれば
0≦θ＜2πの範囲に
解θが4個存在することが分かりましたでしょうか？

お礼

ありがとうございます。理解できました。

回答No.2

noname#56760

>>y = a の共有点が | t | ＜　1 に2つ ( 異なる )　存在するような a を求めればよい。 ・・・・・・・★

t = cos θ　（0 ≦ θ ＜ 2 π）のグラフを描いてみましょう。（縦軸をｔ　横軸をθとして）　そうすると| t | ＜1の範囲でθ軸に平行な直線を引くと交点が2個あります。
　つまりひとつのある数値ｔに対してθは2個出てきます。
　ということはふたつの異なるある数値ｔに対してθは４個出てきます。

お礼

ありがとうございます。理解できました。

回答No.1

akoyagai

例えば、
cos1/3π = cos5/3π = 1/2
のように、0 <= θ < 2πの範囲で、cosθ = tを満たすθは二つ存在します。
(ただし、余弦値が-1か1の場合、一つしか存在しませんので、|t| = 1は除外することになります)

今回の場合は、θが四っつの異なる実数解を持つための条件を求めることになっていますので、
tが-1 < t <1に異なる二実数解を持つことが条件となります。

お礼

ありがとうございます。理解できました。