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高校数学の問題です
0以上の実数s,tがs^2+t^2=1を満たしながら動くとき、 方程式x^4-2(s+t)x^2+(s+t)^2=0の解のとる値の範囲を求めよ。 解き方もよろしくおねがいしますm(_ _)m
- tamy_11_29
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＞x^4-2(s+t)x^2+(s+t)^2=0の解は左辺を因数分解して {x^2-(s+t)}^2=0からx^2=s+t・・・・・(ア) sを横軸tを縦軸とする直交座標を考えると、s^2+t^2=1は 原点(0,0)を中心とする半径1の円であり、s,t≧0だから 点(s,t)の動く範囲は、この半径1の円の第一象限の円弧上 になる。この座標系で(ア)はt=-s+x^2から傾斜がー1でt軸と x^2で交差する直線になる。上記の第一象限の円弧とこの 直線が共通点を持つ範囲で直線が最も上になったときに x^2は最大になり、直線が最も下になったときにx^2は最小 になる。図を描くと明らかになるが、直線が最も上になる のは円弧に接したときである。円弧の半径が1だからこの ときのx^2は√2であり、直線が最も下になるのは直線が 点(0,1)と点(1,0)を通るときなので、このときのx^2は1。 よって、答えは1≦x^2≦√2を満たすxの範囲となるので、 -2^(1/4)≦x≦-1及び1≦x≦2^(1/4)・・・答
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