積分の問題

質問

以下の二問についてどなたかご教授お願いします。

積分領域Dを{(x,y) | 0≦x≦1, 0≦y≦x}とし
f(x,y)= y^2*e^(- x^2)
とするとき、

問題１
∫D f(x,y)dxdy

を求めよ。

問題２
また曲線　y=x^2上の f(x,y)の最大値と最小値を求めよ。

問題１についてはただ単に重積分の計算をして解けばよいのでしょうか。結果として(1-2/e)/6　という値が出ましたが、どうも自信がありません。

また問題２については、方針もわからない状態です。
曲線上という事なのでf(x,y)の　y にx^2を代入し、
計算すればよいのでしょうか？

計算量が多くご面倒かと思いますが、最終的な値を算出していただければありがたいです。

回答No.1

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

これも消されちゃうのかな？と思いつつ。

問題１

> ただ単に重積分の計算をして解けばよいのでしょうか。

そのとおりです。

I = ∫_D y^2 e^{-x^2} dxdy = ∫_0^1 ∫_0^x y^2 e^{-x^2} dy dx
　= ∫_0^1 [ ∫_0^x y^2 dy ] e^{-x^2} dx
　= ∫_0^1 (x^3/3) e^{-x^2} dx

p=x^2 とおくと、dp = 2x dx より、
x=0 で p=0
x=1 で p=1

I = ∫_0^1 (x^3/3) e^{-x^2} dx = (1/6) ∫_0^1 p e^{-p} dp
　= (1/6) ( [- p e^{-p}]_0^1 + ∫_0^1 e^{-p} dp )
　= (1/6) [- p e^{-p} - e^{-p} ]_0^1
　= -(1/6) [ (p+1) e^{-p}]_0^1
　= -(1/6) [ 2e^{-1} - 1 ] = (1-2/e)/6

ということで、ご質問文での結果と一致しています。

問題２

> 曲線上という事なのでf(x,y)の　y にx^2を代入し、計算すればよいのでしょうか？

そのとおりです。

曲線上なら、y=x^2 を満たしていることになるので、y=x^2 を代入します。

f(x,y) = y^2 e^{-x^2}

f(x,x^2) = x^4 e^{-x^2} ≡ g(x^2) とおきます。

p=x^2 とおくと、

g(p) = p^2 e^{-p}

微分が 0 になるところが、極値なので、

g'(p) = 2p e^{-p} - p^2 e^{-p} = p(2-p)e^{-p} = 0

p = 0, 2 、すなわち、x = 0, ±√2 で極値をとります。このとき、

g(0) = 0
g(2) = 4 e^{-2} = 4/e^2 > 0

ところで、p=x^2 なので、0 ≦ p ≦ ∞ の値をとりますので、
p=∞も調べないといけません。

g(∞) = 0

最大値は、x = ±√2 で、f(±√2, 2) = 4/e^2
最小値は、x = 0 で、f(0,0) = 0

が答えです。

お礼

aquarius_hiro様、素早いご対応ありがとうございます！

＞これも消されちゃうのかな？と思いつつ。
問題の丸投げとみなされ、ネチケット違反でしたでしょうか？
ルールのページをもう一度詳細に読んで、今後は質問内容を改めたいと
思います。ご気分を害されましたら申し訳ございませんでした。

>　> ただ単に重積分の計算をして解けばよいのでしょうか。
>　そのとおりです。

途中式も書いてくださり、ありがとうございます。
自分で計算していると、「こんなのでいいのか？」と不安になってしまう事が多く、解答に自信がありませんでした。
計算結果がaquarius_hiro様と同じ値になり、自分の計算法があっていると分かり非常に安心しました。

>問題２
y=x^2上という事は y≧0 となり　y^2*e^(- x^2)　は無限に発散してしまうのではないのかと考えてしまいましたが、
それは早とちりで　e^(- x^2)　が０に収束してしまうのですね。
よって　y^2*e^(- x^2)　は　∞ * 0　となり、発散か収束は
見た目ではわからいのですね。

そこでxについて微分し、極値をみつけると。
なるほど、やっと問題の意味と最終的な値がわかりました！
夜遅くにありがとうございました！

回答No.2

info22

＞問題１についてはただ単に重積分の計算をして解けばよいのでしょうか。結果として(1-2/e)/6という値が出ました
積分結果は合っています。

＞曲線上という事なのでf(x,y)の　y にx^2を代入し、
計算すればよいのでしょうか？
方針は合っています。
増減表を作り最大最小を求めるだけです。
f(x,y)= y^2*e^(- x^2)≧0, y=x^2で
x=y=0で最小値=0は明らかですね。

最大となるのは
g(x)=f(x,x^2)=(x^4)e^(-x^2) (xの偶関数だからx≧0で考える)
g'(x)=2(x^3)(2-x^2)e^(-x^2)
g'(x)=0を満たすx(≧0)は
x=0,√2
g(0)=0,g(√2)=4e^(-2)=4/e^2
増減表を描けば最大値はg(√2)=f(√2,2)=4/e^2
であることが分かります。
g(x)は偶関数ですから
x=±√2,y=2で最大値4/e^2をとることになります。

お礼

info22様、度々ありがとうございます！

問題２については、「y=x^2上の f(x,y)」ということから、
y=x^2というのを拘束条件として、ラグランジュの未定乗数法を使うのだろうか、とも考えていましたがそんな事をしなくてもいいのですね。
問題の意味がわからず困惑していましたがこれで何をすればいいのか
理解することができました。ありがとうございます。

問題文から、かなり高等な公式等をつかうのかと身構えてしまいましたが、
結局は大学受験レベルの計算でできてしまうのですね。

ご指導していただいた通り計算した結果、見事解答することができました。
計算量が多い問題にも関わらず途中式と計算法を詳細に述べていただき、また最終的な値を導出していただきありがとうございました。