２重積分のやりかた

質問

いつもお世話になっています。

このような問題の解決する指針をどなたかご教示下さい。

∫∫[D] dxdy/1+x+y
D:x>=0,y>=0,x+y<=1
の値を求めよ

(1)
Dの使い方がわかりません
純粋にx:[0->1]&y:[0->1]と言うことでしょうか？

(2)
∫(1+x+y)'/(1+x+y) dx
を考えて
x:[0->1]を代入し、
さらにその結果をyについて積分し
y:[0->1]を代入するのでしょうか

それとも、
∫∫(1+x+y)'/(1+x+y) dxdy
を
∫ln(1+x+t)dy
として、その結果に
x:[0->1]を代入し、y:[0->1]を代入するのでしょうか

回答No.1

info22 · ベストアンサー

(1)、(2)
そうではありません。
この問題の場合はDや被積分関数はx,yについて対称（積分の難易度は同じ）ですので、
先ずxをx>=0の範囲の任意の値に固定し、yをDの範囲(y=0->1-x)でyの積分をします。その後xをDの範囲（x=0->1）で積分してやります。
これでDのすべての領域で積分できたことになります。

∫(x=0->1)dx∫(y=0->1-x) 1/(1+x+y) dy --- xを固定してyで積分
=∫(x=0->1)dx [ln(1+x+y)] (y=0->1-x)
=∫(x=0->1)dx｛ln 2 -ln(1+x)｝ --- yで0->1-xまで積分完了
=ln 2 -∫(x=0->1) ln(1+x)dx　　　　　 --- xで積分
=ln 2 - [xln(x+1)](x=0->1)+∫(x=0->1) {x/(1+x)}dx　---部分積分
=ln 2 - ln 2 +∫(x=0->1) {1-1/(1+x)}dx
= [x- ln(x+1)](x=0->1)
= 1- ln 2　
となります。
yを固定してxで先に積分し、その後yで積分する方法もやってみてください。
同じ結果が出てきますよ。

回答No.2

oyaoya65

＃１です。
積分範囲Dについてよく理解されていないようなので補足しておきますね。
D:x>=0,y>=0,x+y<=1
この領域DをXY直交座標平面で描いてみてください。
この領域全体で積分するには、一つの方法として
Dの三角の領域を通るY軸に平行な直線を引いてください。
その直線のX座標をxとすると xは領域Dの範囲にあることから 0<= x <=1
を満たしています。そのxを固定した場合、X=xの直線上の点のy座標が領域D内にあるための条件は 0<= y <= 1-x ですね。この範囲全体でyを変化させ、その後xを0から1迄変化させれば、領域D全体で点(x,y)を変化させたことになります。
積分はxを固定して
∫(0->1)dxの積分は後にします。これはyの積分ではxを定数として扱うことを意味します。xを固定した状態でdyの積分
∫(0->1-x) 1/(y+x+1)dy
を実行します。この際xは定数として扱うことはいうまでもありません。
yについて積分した結果が
[ln(1+x+y)] (y=0->1-x) ＝｛ln 2 -ln(1+x)｝
となります。
これでdyについての積分が終わったので
積分はdxについて0->1まで行ってやれば良いですね。
∫(x=0->1)｛ln 2 -ln(1+x)｝dx
積分はA#1を見てください。

>(1)
>Dの使い方がわかりません
>純粋にx:[0->1]&y:[0->1]と言うことでしょうか？
この範囲はXY座標平面で描くと正方形の内部の領域になり積分領域Dでの積分にならないです。

>(2)
>∫(1+x+y)'/(1+x+y) dx
この式の意味が良く分かりません。
>を考えて
∫１/(1+x+y) dx
を考えてください。

＞x:[0->1]を代入し、
訂正して
x:[0->1-y]を代入します。

＞さらにその結果をyについて積分し
＞y:[0->1]を代入するのでしょうか
yはこれで結構です。

修正したようにすれば領域Dで積分することになります。