形式的意味論に従って妥当性を示す

質問

for any interpretation I, |= p(x) ∨￢p(x)　（排中律）
どうやって示せばいいのでしょうか？

回答No.1

stomachman

対象xと述語pが何であれ、p(x)は命題です。だからご質問の論理式は命題論理の式です。
命題に関してだけ言えば、解釈interpretation（「世界world」「モデルmodel」とも呼びますが）とは要するに、ある命題への付値、つまり「それぞれの原始命題に真・偽の値を割り当てるやりかたの一つ」ということです。そして、あらゆる解釈は
p(x)が真になる解釈
p(x)が偽になる解釈
のどちらかに分類されますので、
i) p(x)が真であるような任意の解釈において、|= p(x) ∨?p(x)
ii) p(x)が偽であるような任意の解釈において、|= p(x) ∨?p(x)
を示せば、
任意の解釈において|= p(x) ∨?p(x)
であることが言えます。

蛇足ですが、「あらゆる解釈はp(x)が真になる解釈とp(x)が偽になる解釈のどちらかに分類される」と言えるのは、命題論理の解釈として、排中律が成り立つような解釈しか許さない、という性質を持つような形式意味論を、もともと採用しているからです。
　しかし、もっと他の形式意味論、例えば
「解釈wに於ける命題Aの真偽値は、真か、偽か、わからないか、のどれかである。」（排中律を含まない命題論理）
だとか
「解釈wに於ける命題Aの真偽値は、0と1の間の実数である。」 （ファジイ論理）
だとか、さらには
「命題 □Aの真偽値は、|= Aであるとき（つまりあらゆる解釈wにおいてAが真であるとき）に真、さもなくば偽である。」(様相論理）
なども考えられ（そして、実際に使われてい）ます。