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質問No.3056952
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一次元のポテンシャル
一次元のポテンシャルが、U=-a/x+b/2x^2で与えられています。このエネルギーが小さいときの振動の振幅を求めたいのですが、どのように求めるのでしょうか?積分するにもどうしようもなさそうですし・・・。分かる方、回答お願いします!
投稿日時 - 2007-06-04 21:06:37

質問者が選んだベストアンサー

回答No.1
 簡単な方法として、次のように求めてはいかがでしょうか。

 このポテンシャル内にある質量mの質点の速度がvで全体のエネルギをEとすると、エネルギ保存則から、
  E=1/2・mv^2+U=1/2・mv^2-a/x+b/2x^2
となります。ここで、振幅の頂点ではv=0となるので、そのときの変位xは、
  E=-a/x+b/2x^2 ∴x={-a±√(a^2+2bE)}/2E
を満たすことになります。
 この質点の振幅は、v=0を満たす変位xの間の距離の半分になりますので、振幅をAとすると、
  A=√(a^2+2bE)/2E
と求められます。
投稿日時 - 2007-06-04 23:32:05
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お礼
回答ありがとうございました!

なるほど!簡単に解けてしまっていますね(汗


あと、申し訳ないのですが、振幅が極限まで小さくなったときの周期も求めたいのですが・・・。
Uの最小値付近での微小変化を考えてみたのですが、うまくいきません・・・。
すいません、お願いします!
投稿日時 - 2007-06-05 14:58:47

ベストアンサー以外の回答 (2)

回答No.3
 #2です。
 誤記がありましたので、訂正させてください。

(誤) x=x0=b/aのとき、U(x0)=-a^2/b
(正) x=x0=b/aのとき、U(x0)=-a^2/2b

(誤) U(x)≒-a^2/b+a^4/(2b^3)・(x-b/a)^2
(正) U(x)≒-a^2/2b+a^4/(2b^3)・(x-b/a)^2

 また、U(x)のテイラー展開の式から微小振動の振幅を求めなおすことができます。
 x-b/a=Δxとおきますと、E=U(x0)+ΔEのとき、
  U(x0)+ΔE=1/2・mv^2-a^2/2b+a^4/(2b^3)・(Δx)^2
となり、Δxが最大のときはv=0ですから、振幅Aは
  ΔE=a^4/(2b^3)・A^2
 ∴A=b/a^2・√(2bΔE)
と求められます。

 なお、ここで、求められた振幅は、#1で求めた振幅でEを-a^2/2b+ΔEと置き換えたときの一つの近似式になっていることが分かります。(微小振動の振幅としては、A=b/a^2・√(2bΔE)の方が妥当かな。)
投稿日時 - 2007-06-06 04:13:07
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お礼
回答ありがとうございました。

なるほど、テイラー展開してポテンシャルの比較ですね!ありがとうございました!!!
投稿日時 - 2007-06-06 14:11:03
回答No.2
 #1です。
 お礼をありがとうございます。

>あと、申し訳ないのですが、振幅が極限まで小さくなったときの周期も求めたいのですが・・・。
>Uの最小値付近での微小変化を考えてみたのですが、うまくいきません・・・。

 考えられたとおり、Uを最小値x0付近でテイラー展開すれば、求められます。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87#.E8.87.AA.E7.84.B6.E7.95.8C.E3.81.AB.E3.81.8A.E3.81.91.E3.82.8B.E5.8D.98.E6.8C.AF.E5.8B.95

 U(x)=-a/x+b/2x^2をxで微分して最小値を求めると、
  x=x0=b/aのとき、U(x0)=-a^2/b
ですから、この点周辺でxが2次の項までテイラー展開すると、
  U(x)≒-a^2/b+a^4/(2b^3)・(x-b/a)^2
となります。
 この式を、バネ定数kのバネに繋がれた質点mのポテンシャル・エネルギがU=U0+k/2・(Δx)^2であることと比較しますと、
  k=a^4/b^3
となり、そのときの角速度と周期は、それぞれ
  角速度:ω=√(k/m)
  周期:T=2π/ω=2πb√(mb)/a^2
と求められます。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87#.E5.8D.98.E6.8C.AF.E5.8B.95.E3.81.AE.E9.81.8B.E5.8B.95.E6.96.B9.E7.A8.8B.E5.BC.8F
投稿日時 - 2007-06-06 03:16:14
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