箱の中の粒子の直線運動量

質問

量子力学を学び始めてまだ日が浅い者です。

ｘ＝０とｘ＝Lにある二つの壁の間に閉じ込められた質量ｍの粒子について、量子数ｎをもつ箱の中の粒子の直線運動量の平均値ｐが０になることを証明したいのですが、解法がわかりません。

どなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.1

inara · ベストアンサー

問題の粒子の規格化波動関数は以下のようになります[1]。

Ψ(x) = {√(2/L)}*sin(n*π*x/L) (n=1,2,3...)

運動量の平均値は次式であらわされます [2]。

<p> = ∫[x= 0～L]Ψ^*(x)*（-i*エイチバ*∂/∂x)Ψ(x) dx

エイチバ = h/(2*π）です。Ψ^*(x) はΨ(x) の複素共役関数ですが、Ψ(x) は実関数なので、Ψ^*(x) = Ψ(x) = {√(2/L)}*sin(n*π*x/L) 。
一方、d/dx Ψ(x) = n*π/L*{√(2/L)}*cos(n*π*x/L)。したがって

Ψ^*(x)*（-i*エイチバ*∂/∂x)Ψ(x) = -2*i*エイチバ*n*π/L^2}*sin(n*π*x/L)*cos(n*π*x/L) = -i*エイチバ*n*π/L^2*sin(2*n*π*x/L) 　　　　　← sin(2*x) = 2*sin(x)*cos(x) を使う

したがって、運動量の平均値は
<p> = -i*エイチバ*n*π/L^2*∫[x= 0～L] sin(2*n*π*x/L) dx = i*エイチバ*n*π/L^2*[ L/(2*n*π)*cos(2*n*π*x/L)]_[x= 0～L] = 0 　← cos(2*n*π) = 1

[1] 波動関数の計算法（PDFファイル2ページ目・箱型ポテンシャルを持つ系）　http://www.metro-u.ac.jp/~hada/toudai/2006-10-27.pdf
[2] 運動量の平均値(PDFファイル9ページ目・設問２）　同上

お礼

ありがとうございました！参考資料までつけていただきまして、とても助かりました。