この問題の解法が分かりません。

質問

【問題】
4バイト(最上位ビットから1ビットの符号ビット、７ビットの指数部、２４ビットの仮数部からなる)の数値で表現する浮動小数点を考える
。この形式で表現される浮動小数点数の絶対値は、
16^n　*　(f1　/　16　+　f2　/　16^2　+　f3　/　16^3　+　f4　/　16^4　+　f5　/　16^5　+　f3　/　16^3)
となる。ただし、nの負数は２の補数で表すものとする。また、fi(i=1,2,3...6)は、0から15までの数値である。例えば、１０進数の16.5は
16.5＝16^2*(1/16+0/16^2+8/16^3)…(1)
であるから、浮動小数点形式では１６進数表示で02108000・・・(2)
となり、
-16.5は82108000・・・(3)
となる。

分からないのは、問題文中の「例えば～」以降で(1)、(2)、(3)がどうしてそのように表されるのか理解できません。分かる方詳細に教えてください。

回答No.2

gungnir7 · ベストアンサー

指数関数は ｙ＝ｍ＊16＾x となります。
ｍが仮数部、ｘが指数部。ここまではいいですか？
（ここが分からないと数学の教科書を読み返してもらうことに）

次にここが最大の山場なのですが、
仮数部の値は1/16≦m<1 の範囲内になるように調整します。
つまりその状態が（１）です。

上の式に当てはめれば　ｙ＝ｍ＊16＾2 となっています。
指数部は２ですね。マイナスは符号ビットが１が立ちます。
すると先頭８ビットは次のようになります。

　１　　　　　０００００１０
符号ビット　　　指数部２

これを合わせると10000010 で最初の82が完成です。
＋の場合は符号ビットが０なので02になるわけです。

仮数部は1/16の倍数、つまり16で割っています。
すると余りは必ず 0～15 の範囲に来ます。
ここもよく工夫されているところで 4ビットで１つの桁を表せます。

（１）でも仮数部の並びは 1、0、8 となってますから
4ビット単位で配置していくと108となります。
あとは辻褄を合わせるために後ろに０を埋めていきます。

これで完成になります。

補足

＞＞次にここが最大の山場なのですが、
仮数部の値は1/16≦m<1 の範囲内になるように調整します。
つまりその状態が（１）です。

(１)の導出の仕方はないのですか？
自力で見つけるしかないのでしょうか？

回答No.3

gungnir7

>(１)の導出の仕方はないのですか？
ええっとこれはそれほど難しくないのですが、
まずは10進数を16進数に変換できないことには始まりません。

16.5は 16進数で10.8になります。
ここの変換はさすがに自分で計算するよりない。

次に1/16<x<=1 ですが、10.8 を小数点以下にすればいいです。
すると２回右にずらせば0.108となります。
この２回右にずらした状態が 16^2 で割った値になっています。
よって指数部は 16^2 が来ます。

このずらすという行為はシフトとよばれています。
右シフトや左シフトというものを会得されるとより考察が深まります。

お礼

よく分かりました。
詳細な回答ありがとうございます。

回答No.1

kazusone

16.5 = 0.165*10^2とします。
ここで符号ビットと指数部が決まります。0x00(符号)+0x02(指数)=0x02です。
0.165を1/16で割ると2.75です。1/16の桁が2=0x2になります。
0.165-(2/16)=0.04が余ります。
0.04を1/256で割ると10.24です。1/256の桁が10=0xAになります。
0.04-(10/256)=0.0009375を同様に1/4096で割ると....

022A....となるのではないでしょうか？