ボルツマンのエルゴード仮説とは?
- ボルツマンのエルゴード仮説は、統計力学における時間発展を表現するためのトラジェクトリーの存在を主張しています。
- エネルギー保存則に基づいて、トラジェクトリーは6n-1次元のエネルギー超曲面上に存在し、選ばれたトラジェクトリーはその超曲面上を通過するとされています。
- ボルツマンのエルゴード仮説の解決は、6n次元の連立方程式(正準方程式)の問題に帰着されますが、未解決の問題となっています。
- ベストアンサー
ボルツマンのエルゴード仮説
統計力学においてn個の粒子からなる系の時間発展は、位置に3n運動量で3nの6n次元の空間中の中の1本のトラジェクトリーであらわされます。このトラジェクトリーは、エネルギー保存則より6n-1次元のエネルギー超曲面上に存在します。ボルツマンのエルゴード仮説は、勝手に選んだトラジェクトリーの1つはエネルギー超曲面上のすべての点を通るといいかえられます。この仮説はいまだに(特殊な場合を除いて)解決されていないそうなのですが数学的には単なる6n次元の連立方程式(正準方程式)の問題に帰着されます。エルゴード仮説の解決において何が難しいのでしょうか?あと6n次元のような高次の空間は人間が問題解決の中で考え出したものなのでしょうか、それとも物理的になにか本質的な、実在するものなのでしょうか?わかる方がいらしたら御教授おねがいします。
- 物理学
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
それでは,実際に解いて見てください.^^; nが10の23乗程度のオーダーの方程式が出来て,断熱過程を扱う場合は内部エネルギーが一定として6n-1の面上のすべての点を通る.いうこと自体が証明が困難なのだと認識しています.ポアンカレがすでに面上の点であればいくらでも近くを通るということは証明していますが,その点を通るということは証明できていないのだと思います.
関連するQ&A
- エルゴードの仮説(古典と量子のはざま)
エルゴードの仮説は古典論で位相空間を軌跡が交わらないから可能な仮説でしたよね。 もし粒子たちが複雑な衝突を繰り返しながらもある瞬間で位相空間の最初の点に戻り、周期運動(とても長い周期)をする場合にはあてはまりませんよね。そうなった場合、軌跡の上だけで積分しなければならないはずです。無限の時間を考えるとそういうことも無視できなくなると思うのですが。 また、量子力学になると位相空間で交わらないということは言えませんよね。不確定性原理があると粒子はとびとびに動きますし、位相点は点ではなく幅をもった球のようになるはずです。 量子力学で全位相空間に等確率をやる根拠はあるんでしょうか?
- ベストアンサー
- 物理学
- ボルツマン因子について(統計力学のはじめのほうです)
最近統計力学を勉強し始めたものです。 ボルツマン因子のeにかかる-E/KTに関しての質問です。 わかる方がいましたら、教えてください。以下がその内容です。 ピストンに閉じ込められ1個の自由粒子を考える。 簡単のために、ピストンを1次元的に考える。 ピストンは固体であるが、やはり分子からできているので 粒子と及ぼしあう力は、粒子がピストンの表面に近づき ピストンにのめりこもうとすれば急激に大きくなる斥力である。 この力は粒子が分子の大きさδの距離まで近づいた時にだけ働く。 このとき、ピストンと粒子の相互作用のポテンシャルをWとすると、 粒子の存在確率はボルツマン因子eの-βW乗に比例する。β=1/KT とありますが、なぜボルツマン因子の肩に乗っている数値は ポテンシャルと運動エネルギーを合わせたE(q,p) (位置と運動量の関数)ではなくて 単にポテンシャルだけなのでしょうか?
- 締切済み
- 物理学
- キルヒホフの公式を導くアイデア
空間3次元の波動方程式の初期値問題の解の公式であるキルヒホフの公式は, 波動方程式の解の球面平均がEuler-Poisson-Darboux方程式を満たすことから, 空間1次元の波動方程式の解の公式であるダランベールの公式に帰着させて導きます. 球面平均を考える意味は何でしょうか ? 空間1次元に帰着できる根拠があるのでしょうか ? それともたまたまうまくいくだけなのでしょうか ?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 連立方程式に関連した以下の事は合っていますか?
連立方程式を解くとは、それぞれの方程式の共通解を求めるということである。 2つの(2つじゃなくてもいいが)2次方程式の共通解を求めよ。=連立2次方程式を解け。 連立方程式を⇒が成り立つような変形(うまく説明できません、すいません…)をしていって得られたものは必要条件だから逆の確認をしなくてはならない。 ただし、次の(1)、(2)の場合に限り、逆の確認をしなくてもよい。 (1)n個(組)以上の共通解を持つことが保証されていて、ただn個(組)の共通解候補が得られた場合 (2)ただn個(組)の共通解を持つことが保証されていて、ただn個(組)の共通解候補が得られた場合
- 締切済み
- 数学・算数
- 4次元、11次元???・・・おしえて?
「4次元。数年前からは11次元の宇宙」などとよく聞きますが、具体的になんなのか解りません。 勝手に具体的な想像すると 1 光子(フォトン)が伝わる空間の次元のこと? この次元に、光子を伝播させることができる次元(媒体(空間))のこと? 2 重力を伝える(大きさを示せる)次元(空間)のこと? ・重力子(グラビトン)を伝播する次元のこと? ・それとも、重力(加速度を含む)の大きさ(スカラー)をあらわすことのできる次元などのこと? 3 素粒子専用の次元のこと? 素粒子(クォーク等)が対消滅等を繰り返している空間 及び 原子内を安定させている『強い力』を表現できる次元のこと? ・・地上の実験でも高エネルギーのときにしか現れないなどと聞いていますが・・・。 ようわかりません。どなたか分かりやすく具体的におしえてください。
- ベストアンサー
- 物理学
- (1)T=0Kにおいて、1、2,3次元の場合の単位長、単位面、単位体積
(1)T=0Kにおいて、1、2,3次元の場合の単位長、単位面、単位体積あたりの状態密度を求めよ。ただし、粒子の濃度をnとする。導出にあたっては各次元における自由電子の波動方程式を立て、解を導きだすこと。 (2)各次元についてフェルミエネルギーEfとエネルギーの平均値を求めよ。 という問題で、(1)はできたのですが、(2)の導出の仕方が分かりません。 様々なサイトを調べたのですがあまり理解が出来ませんでした。ご教授お願い致します。
- ベストアンサー
- 物理学
- 微積の授業での問題です
解き方と答えをおしえてください 連立方程式 x-y+z=1 x+y-z=0 を解け またこの解は何次元空間における何を表すか述べよ。 よろしくおねがいします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- N連立方程式の解き方を教えてください。
N連立方程式の解き方を教えてください。 未知: n個の2次元ベクトル: {a_i | i=1,...,n } なお、すべて大きさは1です。 |a_i| = 1 for all i n個のスカラー: { λ_i | i=1,...,n } ※ 未知数は 3n 個ありますが、ベクトルの大きさの条件から実際には 2n 個です。 既知: n×n 個の 2x2 行列: {A_ij | i,j = 1,...,n } 問題: 以下の n 本の連立方程式から a_i と λ_i の値を出す。 i = 1,...,n に対して A_i1 a_1 + A_i2 a_2 + ... + A_in a_n = λ_i a_i (左辺は2次元ベクトルの和ですので、実際には 2n 本の 連立方程式になり、未知数と同数になります。) 考察: n 個の λ_i が全部同じなら固有値問題に帰着できますが、 そうではなく、また、右辺が非線形なので困っております。 反復的な近似解法でも結構ですので、ご教授いただければ幸いです。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 3次元ユークリッド空間内の直線
3次元ユークリッド空間内の直線 連立1次方程式 y-2z=1 2x+2y+az=b 4x+3y=b 2x+y+z=c a,b,cは実数とします。 Q 方程式の解の全体が3次元ユークリッド空間内の直線になっているとき a,b,cの間に成り立つ関係を述べよ。 またその直線を表す方程式を求めよ 全然わかりません。 解の全体が3次元ユークリッド空間内の直線になるとは どのような状態のことなんでしょうか? よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。やっぱりnが大きすぎるのが難しいんですね。 いくらでも近くなら示せるが、その点は証明できないというところが難しいですね。