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極限の応用問題(再質問)
killer_7の回答
2-√(1-a_n) = 3-a_n/2+√(1+a_n) は成り立ちません.そうではなく, 2-√(1-a_n) = (3-a_n)/(2+√(1+a_n)) ですね. 示すべき式が与えられているため, 2-√(1+a_n) = (3-a_n)/f となるa_nの式fがあるかもしれない,と考えれば思いつくかもしれませんが, 率直に言って,ふつうこのような変形はしないでしょう. いま,3-a_{n+1} = 2-√(1+a_n)を, 2-√(1+a_n) < (1/3) * (3-a_n) のように,上から押さえたい. そのためには,√(1+a_n)を小さく見積もればよい. y=√(1+x)のグラフを描けば分かるように,0<x<3において √(1+x) > x/3 + 1 が成り立つ.(y=x/3+1は(0,1)と(3,2)を通る直線,一般に√xは上に凸であり,0<x<3でこの直線より上にある.) 0<a_n<3がすぐにわかる(あるいは与えられている)から, √(1+a_n) > a_n/3 + 1 である.したがって, 2-√(1+a_n) < 2 - (a_n/3 + 1) = 1 - a_n/3 = (1/3)*(3-a_n) であり,示すべき式が得られた.
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