極限の問題です。

質問

すべての項が負ではない数列Apがあって、
Ｓｎ＝A1+A2+・・・+Anとする。
すべてのｎについてSn<=Ｋとなる正実数Ｋが存在した時、
数列Ｓｎも極限を持つことを証明せよ。

という問題です。

ふつうの極限の問題と違う感じがしてどこから手をつけたらいいのかわかりません。
どなたか解答お願いします。

回答No.6

statecollege

高木貞二ではなく、高木貞治でした。貞二だと思い込んでいましたが、正しくは貞治です。この世界的に有名な数学者にたいしてたいへん失礼しました。

回答No.5

statecollege

その後あなたからは何の反応もありませんが、高木貞二の本、あるいは解析の教科書なら何でもかまいませんが、調べてみましたか？私も、自分の記憶が正しいことをチェックするために、調べててみました。高木貞二「定本　解析概論」8ページ、「定理６　有界なる単調数列は収束する」。証明ももちろん付いていますが、証明はとくに難しくありませんので、せっかくですから、この定理をあなたの問題と記号に即して高木とは少し違ったやりかたで証明しておきましょう。

　Snは単調増加で上に有界だから、上限が存在する（Weierstrassの定理、高木の定理２）。この上限をSと書くと

　　　Sn≦S　　(n=1,2,3,...)

が成り立つ。このとき、任意のε＞０に対して

　　　S-ε＜SN ≦S

となるNが存在する。（存在しなければ、S-εが数列Snの上界となって、Sが上限であることに矛盾。）数列Sｎは単調増加だから、ｎ≧Nに対して

　　　S-ε＜Sn≦S

となる。εは任意だから、SnはSに収束する。

このように定理の証明は難しくありませんが、Weierstrassの定理まで証明するとなると少し面倒です。いずれにせよ、この「上に有界である単調増加の数列は収束する」という超有名な「定理」を証明することを要求されているとは思えません。これを前提に解けばよいはずです。

回答No.4

statecollege

ANo.3では「上記「 」の公理は、実数の定義の一部であり、定理として
証明することはできません」とある。本当でしょうか？この有名な定理が「公理」で、証明できないとははじめて耳にしました！もちろん、この定理を「公理」として実数体系を作り上げることはできるのでしょうが、すくなくとも私は見たことがありません。
今手元にある、Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd editionの55ページには定理として証明されています。（証明は数行の簡単なものです。）たぶん、昔読んだ高木貞二の解析概論にも同様の証明があったと記憶していますが、いま手元にありません。ご自分でチェックしてください。

回答No.3

alice_44

「上に有界な単調増加数列は収束する」という公理を使う。
Sn は上界 K を持ち、An が正数なので単調増加です。

上記「 」の公理は、実数の定義の一部であり、定理として
証明することはできません。この辺が、普通の問題と違う
ところでしょうね。そんなもんだと思って同意するか、
別の実数論を作るか、どちらかを選ぶだけです。

回答No.2

statecollege

きわめて普通の極限の問題です！「上に有界の、単調増加する数列は収束する」という有名な定理を知っているでしょう！数列Snは単調増加で、かつ上に有界の数列ではありませんか！その定理を用いるか（その場合答えは直ちに得られる）、その定理の証明と同じように証明するかでしょう！

回答No.1

rnakamra

上に有界な単調増加数列は収束する、という定理を使う。
Snが上に有界であることと単調増加であることを示せばよい。