極限の応用問題

質問

個人的にはかなり難問で分からなかったので教えてください。具体的に分からなかった箇所を書きますので、そこを教えていただけると助かります。

数列anは0<a1<3とa(n+1)=1+√(1+an)を満たしている。n=1,2,3,4・・・とする。さらに、0<an<3と3-a(n+1)<1/3(3-an)も満たしている。数列anの極限値を求めよ。

「さらに」の後は前問で証明したものです。これを使うらしいです。

解答
0<3-an≦(1/3)^n-1*(3-a1)なので・・・・とありここから挟み撃ちでやいます。しかしなぜこの式を思いついたのか分かりません。「さらに」の後の式を使うらしいです。まったく分からないので、僕のような馬鹿にも分かるよう教えてください。お願いいたします。

回答No.4

take_5 · ベストアンサー

この問題に限れば、極限値が3である事を示しての誘導した解法です。
しかし、それなりの大学の問題となると、この極限値が示されずに“いきなり”極限値を求めよ、という問題が出されます。
勿論、漸化式から一般項が求められれば良いのですが、この問題のように一般項が求められないものについては、私が先に示したように極限値を導き、それを“挟み撃ち”で証明する事をしなければなりません。

私が、
＞ここがこの問題の核心です。

と書き込んだ理由です。

回答No.3

felon

No.2です。
経験上思いついたんですが・・・
・数列の極限ははさみうちの定理を使うことがよくある。
・小問に分かれている場合は、前問の結果を用いることが多い。(十中八九)
といったところでしょうか。
anが3に収束することが予測できる(No.1さんのようなやり方もあります)のですが、前問の結果、3-a(n+1)<(3-an)/3から(3-an)→0のほうがan→3よりも証明しやすいのでは、と思えます。
あとは前問の結果をどう利用するかですが、はさみうちの定理を用いることを前提とすると(使うことが多いので)、3-an＜(1/3)^(n-1)*(3-a1)
が思い浮かびます。（n→∞の時(1/3)^n→0だから）

説明下手で申し訳ないです。。

回答No.2

felon

質問文の3-a(n+1)<1/3(3-an)は、3-a(n+1)<(3-an)/3の間違いではないでしょうか？
そうでなければ、以下は無視してください。
まず、0<an<3より、3-an>0となります。
次に、与式
3-a(n+1)<(3-an)/3　を用いて、
3-a(n+1)<(3-an)/3<{3-a(n-1)}/(3^2)<{3-a(n-2)}/(3^3)<・・・
<(1/3)^(n-1)*(3-a1)
となるので、0<3-an≦(1/3)^(n-1)*(3-a1)　となります。

この式にはさみうちの定理をつかえばan→3となります。

補足

どうもありがとうございました。しかし、まだ僕には理解できません。。。
上のような式はなぜ思いつくのでしょうか。nをn-1,n-2,n-3・・・・として、1/3を1/9,1/27,1/81・・・・としていくということをどうして思いついたのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

take_5

数列anが極限値をもつなら、極限値をαとすると、a(n+1)→α、an→α。
従って、a(n+1)=1+√(1+an)　から　α＝1＋√（α＋1）。
これを解くと、α＝3.

ここがこの問題の核心です。