やりなおし数学 － 指数法則

質問

技術書読むために高校数学やりなおしてます。
指数法則というのが出てくるんですが

1) A＾m x A＾n = A^(m+n)

2) (A^m)＾n =A＾(m x n)

3) n√Ａ^m　= A＾m/n

法則は丸暗記できるのですが理屈がわかりません。暗記よりも「なぜこの法則が成り立つのか」を知りたいので証明してくださる方お教えください、よろしくお願いします（ひょっとしたら高校の教科書でも載ってる？）

回答No.1

proto · ベストアンサー

a^3 * a^5 = (a*a*a) * (a*a*a*a*a)
　　　　　　　= a*a*a*a*a*a*a*a = a^8 = a^(3+5)

　　(a^2)^3 = (a*a) * (a*a) * (a*a)
　　　　　　= a*a*a*a*a*a = a^6 = a^(2*3)

基本に立ち返れば簡単な原理です。
何なら、たとえば2^3*2^5を紙に書いて計算してみるのもいいでしょう。
簡単な例から類推することも大切です。

３つめのやつはn=2,m=1のときつまり√Aで考えましょうか。
　　(√A)^2 = A
ですから√A=A^xとおいて、xは何かな？と考えてみましょう。
二つ目の公式から
　　(√A)^2 = (A^x)^2 = A^2x = A
つまり
　　2x = 1
　　x=1/2
よって
　　√A = a^(1/2)
これと同じ原理で、三つ目の式も一般的に考えることができます。

お礼

なるほど！ありがとうございます。

回答No.3

koko_u_

A > 0 として、、、

m, n が正の整数であるなら、A^n の意味(n回かけ算)からほぼ明らかでしょう。
負の整数でもA^(-1) が逆数の定義から 1/A になることで OK。n乗根も似たかんじ。

実数、複素数まで拡張しようとするとめんどい。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

larme001

厳密な証明はともかく、とりあえず感覚的に理解するなら、
1)たとえば、3^2x3^3=(3x3)x(3x3x3)=3^5なので、
一般的にかんがえても、A^mxA^n=A^(m+n) は自明でしょう。これは、n<0とかでも成立します

2)たとえば、　(3^3)^3=(3x3x3)^3=3^3x3^3x3^3=3^(3+3+3) !)の変形をもちいる。ここで、()のなかは３が三つつまり3x3なので、=3^(3x3)　一般的に(A^m)^n で考えても同様

３）n√A　というのはn回そえをかけるとAになる数ということ。これを考えると、
(n√A)^n/A=1 つまり　(n√A)^n=A ここで、左辺の指数が1になるなら、n√A=A^kの場合　(2)より、A^(k×n)=A^1 なので、k=1/n
仮に√内がA^k乗なら、n√A^k=A^(k/n) と書けるということ。

分かりにくければすみません。もちろん高校二年生でlogもふくめて学習します。確か指数だけなら中学生でもやったような....

お礼

ありがとうございます。対数も必要なのですが今は指数からやりなおしてる次第です。