指数の拡張

質問

「０以外の数a」の累乗a^nの意味を、指数が０の場合にも、m,nを正の整数とするときに成り立つ指数法則　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)a^m・a^n=a^m+n (2)(a^m)^n=a^mn 　(3)(ab)^n=a^n・b^n 　　　　　が成り立つように定める場合、(1)(2)(3)が成り立つとすると、 a^0=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　になる、というのは納得できるんですが、以上のことは、　　　　　　　「(1)(2)(3)が、指数０でも成り立つ。⇒a^0=1」　　　　　　　　　　　　　が言えただけだと思います。なので、指数が０のときの累乗を、　　　　a^0=1 と定義しても、(1)(2)(3)が成り立つように定義できた、とは言えないと思うのですが、言えるらしいんです。その理由を教えてもらえますか？

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

＃読みにくいなあ・・・

「成り立つように定める」というのは
「成り立つならばこうなる」ではなくて，
「こうすれば成り立つ」という意味です．

話としては，まず「成り立つ」と「仮定」して
結果を出しておいて，
今度はその結果を仮定して，
「成り立つ」ことを「証明」する，
と流れることが多いです．

で、、、a^0=1と定めたら指数法則が成り立つかですが，
明らかに成り立ちますし，証明も実際容易．
例えば，
n=0のとき
a^n a^m = 1 a^m = a^m = a^{0+m} = a^{n+m}
他の指数法則も同様．

お礼

迅速な回答ありがとうございます。おっしゃるとおりです。読みにくさについては、回答欄の幅？が調節できないんですよね・・・

補足

これ以上に良い回答はもうあまりないかと思うので、１月１３日に回答を締め切らせていただきます。

回答No.1

noname#69788

a=0のときに面倒なことになります。

お礼

回答はありがたいですが、そのことは承知しているのです。