もういちど教えてください。収束計算式です。

質問

過去に一度質問したのですが、別の考え方でも式が出せないか考えていたのですが、まったく答えにたどり着けないため、お力をお借りしたいと思い再度質問させていただきます。

Vリットルの液体AにRミリリットルの液体Bを添加してV+R/1000リットルの液体をよく混合後、Rミリリットル捨てるという作業をｎ回行う。
最初のVリットルの液の減少量を考えると１回にV／(R/1000＋V）の比率で減少するため、ｎ回では(V／(R/1000＋V）)^n、よって液体Bの置換率は1－(V／(R/1000＋V）)^nという式が導き出せることは、理解いたしました。
では、液体Bの増加量に着目して式を出すにはどうしたらよいのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.3

rtz · ベストアンサー

もういいのかもしれませんが、一応。

{R(n+1)－1}＝V/(V+R/1000)・{R(n)－1}の式は、
nは幾らであっても成り立つわけで、それを利用して、下の式は全部成り立ちます。

{R(n)-1}＝V/(V+R/1000)・{R(n-1)-1}
{R(n-1)-1}＝V/(V+R/1000)・{R(n-2)-1}
{R(n-2)-1}＝V/(V+R/1000)・{R(n-3)-1}
{R(n-3)-1}＝V/(V+R/1000)・{R(n-4)-1}
…
{R(2)-1}＝V/(V+R/1000)・{R(1)-1}
{R(1)-1}＝V/(V+R/1000)・{R(0)-1}

1つ上の式に代入することを繰り返すと、
{R(n)-1}＝V/(V+R/1000)・{R(n-1)-1}
＝V/(V+R/1000)・V/(V+R/1000)・{R(n-2)-1}＝{V/(V+R/1000)}^2・{R(n-2)-1}
＝V/(V+R/1000)・{V/(V+R/1000)}^2・{R(n-3)-1}＝{V/(V+R/1000)}^3・{R(n-2)-1}
…
＝{V/(V+R/1000)}^(n-1)・{R(1)-1}
＝{V/(V+R/1000)}^(n)・{R(0)-1}

つまり1回ごとにV/(V+R/1000)倍していくわけです。
よってV/(V+R/1000)をn回かけたものが出てきます。

回答No.2

Mandheling

まずVリットルとRミリリットルとで単位が違うので
（ｘ1000や1/1000を数式に入れると、ややこしくなってミスを犯しやすいので）
Rミリリットル＝Sリットルとしましょう。（S=R/1000）
全ての計算が終了してからSをRに置き換えればいいのですから

それでは液体Bの増加量に着目するとして計算式を立てていきます。
　ｎ回目の作業の後の液体Bの割合をB(n)とします。
　(ｎ+1)回目の作業で液体Bの量はB(n)がVリットルあってそれにSリットル加えるので
　　　V・B(n)+S
　次に(V+S)リットルからSリットル捨てるので、残った液体Bの量は
　　　(V・B(n)+S)×{V/(V+S)}
　このときの液体の量はVリットルなので、液体Bの割合、つまりB(n+1)は
　　　(V・B(n)+S)×{V/(V+S)}÷V
　　＝(V・B(n)+S)/(V+S)
　よって　B(n+1)=(V・B(n)+S)/(V+S)　という漸化式ができました。
　ここでn=1のときVリットルの液体AにSリットルの液体Bを加えるので
　液体Bの割合は　S/(V+S)
　よってB(1)=S/(V+S)

あとはこれを解けば良いと思います。

お礼

詳しい説明ありがとうございます。
ややこしい数式を記号に置き換えるテクニックとても参考になりました。
じっくりゆっくり読んで、理解しました。
ほんとうにありがとうございました。

回答No.1

rtz

n回後のRの置換"率"をR(n)として
V・R(n+1)＝{V・R(n)＋R/1000} × V/(V+R/1000)
(V+R/1000)・R(n+1)＝V・R(n)＋R/1000
(V+R/1000)・R(n+1)－(V+R/1000)＝V・R(n)－V
(V+R/1000)・{R(n+1)－1}＝V・{R(n)－1}
{R(n+1)－1}＝V/(V+R/1000)・{R(n)－1}

よって
R(n)－1＝{V/(V+R/1000)}^n・{R(0)－1}＝{V/(V+R/1000)}^n・{0－1}＝－{V/(V+R/1000)}^n
R(n)＝1－{V/(V+R/1000)}^n

まぁAから出すのと大きな違いは無いですが。

お礼

詳しい説明ありがとうございます。
数学は苦手で、式の導き方がまったくわかりませんでした。

R(n)－1＝{V/(V+R/1000)}^n・{R(0)－1}
＝{V/(V+R/1000)}^n・{0－1}＝－{V/(V+R/1000)}^n

すいませんが、この式の意味がよくわかりません。
R(n+1)-1がR(n)に、R(n)がR(0)になるのはなぜですか？

よろしくお願いします。