教えて下さい！！

質問

解けないです。。。教えて下さい！
２問あります。。。
１、周の長さが40cmの扇形のうちでその面積が最大になるものの、
半径と中心角を求めよ。
２、半径ａの球に内接する直円柱のうちで、その面積が最大になるものの低円の半径と高さ及び面積を求めよ。
微分法の関数の増減という範囲です。

回答No.4

zabuzaburo

No.2とNo.3の間に生じる食い違いは、
円を中心角360°の扇形と考えたとき、
扇形の面積を与える式(rl/2)はそのまま円にも当てはまるのに対し、
周の長さを与える式(2r + l)は円には適用できないことによって生じています。
扇形の中心角をどんどん広げてついに半径同士が融合してしまうと、
忽然(こつぜん)と半径が消えて円になってしまうわけです。

ですから、円を扇形に含めるのならば、周の長さの式は
「中心角が360°未満か、あるいはちょうど360°なのか」
によって場合分けをする必要があります。

ただし、ご質問に出てきた問題では、文脈から察するに
「円は除外して」考えることを想定しているようですね。
私自身は、例えばこういう問題を試験で出したときに、
一方をマルにして一方をバツにするのは良くないと考えています。

回答No.3

hikaru_mac

(1)に関して
no2さんの方法でどこが間違っているか分からない。
むしろ、あっている気がするのだけれども
周の長さが同じで面積が最大の平面図系は円だとおもう。
実際に、周の長さが40となる円は、半径が3.37くらい。
面積は127.39くらいになる。。。。
自信無しです。

回答No.2

Umada

1.　扇形の半径をr、弧の長さをlとします。(このとき、2r+lが40[cm]という制限がつきます)
この扇形の面積Sは
　S=(1/2)×rl　　　(1)
です(*1)。rやlが好きな値をとってよいのならSはいくらでも大きくなりますが
　2r+l=40 [cm]　　　(2)
の関係がありますから、これを代入すると
　S= (1/2){r(40-2r)}
　 = r(20-r)
　 = -r^2+20r-100+100
　 = -(r-10)^2+100　　　(3)
となって微分を持ち出すまでもなく、r=10 [cm]のときに最大値100 [cm^2]を取ることが分かります。
もちろん、微分を使って計算しても答えは同じです。

2.　立体図形の場合は、断面図や展開図で考えるのが基本です。
今、題意の立体を真横から見てみましょう。あまり精密には描けないのですが、球(図では円・・・と八角形になってしまっていますが)の中に円柱(図では断面ですから長方形)が入っていると思って下さい。円柱の軸は図の縦方向に通っているとします。
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円柱の底面の円の半径をr、円柱の高さをhとするとその体積Vは
　V=πr^2 h　　　(4)
であることはご承知の通りです。この問題でも同様にrやhが勝手な値をとれるならVはいくらでも大きくなりますが、球に内接することからrとhの間には制約があります。それは
　r^2+(h/2)^2=a^2　　　(5)
です。三平方の定理から考えればすぐ分かると思います。
(5)からhかrかどちらか消去して、変数が一つだけの式に書き換えます。(変数が二つあるままでは増減を追いにくいので)
この時、(5)をh=...の式に書き直すと根号が出てきてややこしいので、r^2=の式に書き換えます。ちょっとしたノウハウです。
すると
　V=π{a^2-(h/2)^2} h　　　(6)
を得ます。これは3次関数ですので増減を調べるには微分を使うことになります。Vを高さhの関数としてV(h)とおき、これをhで微分すると
　V'(h)=π{a^2-(3/4)h^2}　　　(7)
を得ます。hの変域は図を見て明らかなように、0から2aまでですから、この範囲で増減を調べればよいわけです。面倒くさがらずに増減表を書くと

h　　　0　　　　　　2a/√3　　　　　2a
V'(h)　πa^2　+　　　　0　　　-　　-2πa^2　
V(h)　　0　　増加　　　M　　減少　　　0
* ここに、M＝(4√3π/9)a^3

となりますから、h=2a/√3で体積は最大値(4√3π/9)a^3をとることが分かります。底面の円の半径rへの換算はセルフサービスでどうぞ。

方針は合っているはずですが、細かい点で計算ミスをしているかも知れませんのでご自身でもチェックしながら読んでみてください。
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*1　実はπを使わなくても、こんなすっきりした形で書けるのです。何故そうなるかは扇形の面積の公式で簡単に説明できます。
半径rの円の面積は　πr^2
扇形の中心角は　l/2πr [ラジアン]　(360°のうち、中心角が占める割合と言っても良い)
よって扇形の面積は　πr^2×l/2πr=(1/2)×rl

回答No.1

may-may-jp

面積に関する方程式を立てて微分するだけです。
面積に関する方程式の立て方は、小学校のときにやってますよね。

補足

ごめんなさい！！！２、は面積じゃなくて体積で、
低円は底円のまちがいです！！