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指数が実数の場合の定義の妥当性
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ではもう一度.先ほど挙げた「単調かつ有界な数列は収束する」につきるのですが,これを説明します. 数列 {a_n} ={2, 2^1.4, 2^1.41, 2^1.414, ...} を考えましょう.これは上に有界で単調増加です.どう考えても 2^2 =4 が上界にあり,有理数指数ですから単調増加であることは大丈夫ですね. さて集合 X ={2, 2^1.4, 2^1.41, 2^1.414, ...} とします.X は要素が実数の,上に有界な空でない集合ですから,最小上界があって,それを sup X =S とします. むろん最小上界 (上限) sup の定義によって,ある ε (>0) について S -ε は既に X の上界ではありません. したがって以上まとめると,ある番号 N があって, S -ε<a_N≦a_{N+1}≦a_{N+2}≦・・・≦S です.これより N 以上のすべての n に対して, S -ε<a_n≦S です.つまりどんな小さな正数 ε についてもこの a_n は, |a_n -S|<ε であり,n→∞ の極限で a_n→S (=sup X) と収束することがいえます.
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- sacra_sak
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直観的には明らかでないでしょうか. 2 を底とする指数関数 2^x を考えますと,これは単調に増加するわけです.2^√2 は 2 と 2^2 の間にあって,また 2^1.4 と 2^1.5 との間にあって,そのまた 2^1.41 と 2^1.42 の間にあって・・・と考えていくと,収束することはおそらく確かでしょう. 実はこの議論は,かのオイラーも同じことを言っていて,彼は無理数の指数を「ずっと理解しがたいもの」とし, a^√7 erit valor determinatus intra limites a^2 et a^3 comprehensus すなわち「a^√7 は a^2 と a^3 なる限界の間にある値であろう」と言ったそうです. これは現代的には「単調かつ有界な数列は収束する」という定理で説明されます.すなわち数列 {1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ...} は単調増加で上に有界ですから収束する,ということです.
補足
実数の場合が定義できていない状態で、指数関数を考えることは、順序が逆では? 直感的には私も理解できますが、もっと順序だてて理解したかったものですから、この質問になりました。
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