三角形のフェルマー点と重心が一致すれば正三角形か？

質問

三角形ABCには、五心と呼ばれる点があります。傍心を除外した、

重心。垂心。外心。内心。

のうち勝手な二点が一致すれば、三角形ABCは正三角形であることが、少し考えれば分かると思います。

そこでフェルマー点というのを考えます。

フェルマー点とは、△ABC内の点Pのうち、
∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 120°
となる点をいいます。

僕が調べたところ、
フェルマー点と垂心が一致すれば、三角形ABCは正三角形であることが分かりました。
フェルマー点と外心、フェルマー点と内心についても同様でした。

しかし、フェルマー点と重心が一致すればどのような三角形か、という問題を考えたとき、行き詰ってしまいました。
それも正三角形であることが証明できるのでしょうか？また、正三角形でない反例があるのでしょうか？

さらに、ジェルゴンヌ点とかネーゲル点とかナポレオン点とかも考えたとき、なにか成立することはあるのでしょうか？

なお、詳しい性質と図においては、
http://www.geocities.jp/osaqmath/j3-2.html
を見ていただければ分かりやすいと思います。

回答No.3

adinat · ベストアンサー

フェルマー点の作図方法に着目した初等幾何の証明が自然ではないかと思っているのでご紹介します。

△ABCの辺BCの外側に正三角形BCA'を作って、AA'を結ぶとこれはフェルマー点Pを通ります（作図するときは他の辺にも同様の正三角形を書いて対応する頂点同士を結んだときの交点がフェルマー点）。さらにAA'とBCの交点をDとすると、Pは重心でもあるのだから、線分AA'は線分BCを二等分します。つまりBD=CDです。一方、△BCA'は正三角形だから、A'D⊥BCです。あとはどうやっても証明できますが、たとえばこのことからPは△ABCの外心であることもわかります。したがって△ABCのフェルマー点と重心が一致すればそれは正三角形です。

まったく同様の論法で、たとえばナポレオン点と重心が一致すれば正三角形なども成立します。

ジェルゴンヌ点やネーゲル点も定義をよく考えてみれば、たとえば重心と一致すればそれは正三角形に限ることは直ちにわかると思います。たとえばジェルゴンヌ点について考えてみれば、△ABCの内接円の接点を順にD,E,Fとして、AD,BE,CFがジェルゴンヌ点Pを通り、なおかつ、Pは重心でもあるのだから、BD=CDです。これからADは垂直二等分線になることがわかり、したがってPは外心でもあります。これも自明ですが、ジェルゴンヌ点と内心、ジェルゴンヌ点と外心、ジェルゴンヌ点と垂心が一致してもいずれも正三角形になりますね。簡単だから考えてみられたらよいと思います。

たぶんいわゆる三角形の特殊点のどれか二つが一致すれば基本的に正三角形になるだろうというのは正しいと思います。が、それを全部証明するのは質問者様の興味を奪うことになるかも知れないし、何より面倒なので書かないことにしますが、たとえばフェルマー点とジェルゴンヌ点が一致すれば？などは基本五心絡みではないので、少々手ごわいのかも知れません。というか少し考えてみたけどわからなかったｗ

お礼

ご回答ありがとうございます。
まだ全部は考えていないのですが、

フェルマー点とジェルゴンヌ点が一致すれば？

というときには、複素数を使うほうがいいかもしれないですね。
単位円上に３頂点を置けば、
http://homepage2.nifty.com/tangoh/tanien1.html
などのいろいろな性質を使って、全部の点が、複素数を使って表現できそうです。
昔どこかの本で五心を複素数で表しているのを見かけましたが、いまは探し出せません。
ジェルゴンヌ点も複素数を使って表現できそうです。
あとで考えて見ます。

補足

自己レスっぽいですが、
まず、ジェルゴンヌ点という点の存在性、つまり、３直線が１点で交わることが、初等幾何ではできそうになく挫折しました。
ベクトルとか複素数を使って、ゴリゴリやれば出来そうですが。

ジェルゴンヌ点と重心、ジェルゴンヌ点と内心、ジェルゴンヌ点と外心、ジェルゴンヌ点と垂心については、確認しました。

五心絡みは初等幾何がよさそうです。

しかし、九点円の中心とか、「∠PBC=∠PCA=∠PACとなる点P（これは名前が就いていたと思いますが忘却）」とか、五心以外にいくらでも考えられて、組み合わせも飛躍的に多くなり、時間が必要ですね。

それと初等幾何的解法と、代数的解法とのメリット・デメリットが交差する分野だと思います。

ちなみに、僕自身がフェルマー点を複素数で表そうとしましたが、１時間考えてもきれいにならなくて挫折しました。

僕はその種の本を読み直したほうがよさそうです。

回答No.2

Tacosan

あ, 言い忘れてましたが #1 は
「フェルマー点 = 重心」→正三角形
の証明です... 多分.

回答No.1

Tacosan

与えられた条件から AB = AC を導けば十分なので
初等幾何の場合:
△ABC のフェルマー点F が重心G と一致すると仮定します. △ABC は鋭角三角形です (一応, 念の為). ここで辺 BC の中点を D とすると A, G, D はこの順に一直線上に並びます.
そこで, D に関して G に点対称な点 E をとり, 四角形BECG を考えます. 角度を考えることによりこれは菱形になることがわかります. よって EG ⊥ BC. つまり AD ⊥ BC だから AB = AC.
複素数を使っていいなら:
原点 O をフェルマー点とする △ABC の頂点を A(a), B(bω), C(cω^2) とおきます. BC の中点は AG (= AO) 上にあるので (bω + cω^2)/2 は実数, つまり b = c だから AB = AC.

お礼

ご回答ありがとうございます。

四角形BECGがひし形であることを示すのに、
角BGC=120° であることを使うと思いますが、自分なりに別解を考えました。

略解
△ABC のフェルマー点F が重心G と一致するとする。
辺 BC の中点を D とする。
角BGD=θとすると、角CGD=120°-θ。
点Fの周りの角度を、対頂角を考えて、θによって表すと、θ＝60°がわかる。
ΔBGCを考えると、角Gの二等分線が、対辺を分割する比率を考えて、
GB:GC=BD:CD=1:1
よって、ΔBGCは120°、30°、30°の三角形になり、それらから元の三角形は正三角形。

△ABC の頂点を A(a), B(bω), C(cω^2)とおくといった複素数の解法はすばらしいです。

でもでもでも、昔にどこかの本で見たのですが、
三角形を複素平面上に置くとき、頂点は単位円上にあると考えて、A(e^iα), B(e^iβ), C(e^iγ)とおいていた気がします。それからフェルマー点を表そうとすると、場合によってはフェルマー点が存在しない場合もあるし、表せたとしても、とても複雑な表現そうです。

今回の場合は、A(a), B(bω), C(cω^2)とおくというのが、最適ですね。