導関数の記号 dy/dx の意味は？

質問

高校の先生から、微分（導関数）の記号：dy/dx は、１つの記号であって、
分数のように分母・分子に切り離してはいけないと教わりました。
しかし、逆関数での微分では、dy/dx を 1/(dx/dy)にしたり、積分するとき
の記号では、最後に dx をつけ、あたかも分母だけをつけた形にしています。

初めの dy/dx は、「dy は分子、dx は分母」と素直に考えたほうが
いいのではないでしょうか？

回答No.10

motsuan · ベストアンサー

>私は、このことは重要なことだと思います。
がえらく心に響いたので、蛇足というかナメクジに足のような回答です。

数学では同じ働きをするものは同じとみなします。
５個のりんごと５個のみかんでは数という意味で同じとみてしまえ！
というぐあいにです。
ですから、kbannaiさんが同じと思うのであれば同じと一度置いてみればいいのではないでしょうか？
それで分数の計算の性質をすべて満たすならば、
それは分数と同じように扱ってもまったくかまわないわけです。

というわけで
ｄｆ/dx ± dg/dx = (df±dg)/dx
(df±dg)はどうしましょうか？
普通に考えると(df±dg)＝d(f±g)としたいですよね。意味は
微分の加減算は加減算の微分といったところでしょうか？
実際これは正しい結果を与えます。
では分母が違う場合は？
ｄｆ/dx ± dg/dｙ = (dfdy±dgdx)/(dxdy)
うーんこれはちょっとまずそうですね。
掛け算はどうでしょうか？
ｄｆ/dx ・ dg/dx = (df・dg)/(dx・dx)
これもちょっと（左辺は数の掛け算ですが右辺は
なにやら極限操作のようなことをやっていますが意味が不明です）。
でも、
ｄｆ/dy・ dy/dx =df/dx
ならOKです（通分できるならただしいようだ）。

という具合に一概に”本当の分数”とおいてはだめなことがわかります。
でも、いくつかの性質は本当の数のように見えますよね。
その性質はなにか？　ｄｆ +dg=d(f+g)　だったり、ｄｆ/dy・ dy/dx =df/dx
だったりです。ｄｆ +dg=d(f+g)　は、dxに関係なく（つまり下がdyだろうがdzだろうが
、しかも、ｘがどこの値のときでもお構いなしに成り立つ性質なので）
df、dgだけ数と見なせば都合が良いように見えます（ついでに定数を掛けても大丈夫です）。
一方、ｄｆ/dy・ dy/dx =df/dxは変数をxからｙに変換するような操作が割り算
（普通の数のようにできる）ことを示しています。
そこで、上のdf、dgと形を合わせてｄｆ=(df/dx)dxやｄｆ=(df/dｇ)dｇという具合に表記すれば
df、dgを加減算のなかで数とあつかって、必要とあれば、ほかの変数にうつりあえるという、
えらく便利な「数」ができるわけです。
あとは、siegmundさんがおっしゃっているような、積分での変換の関係をうまく満たすように工夫
（ってちょっと面倒ですが）すれば、微積分に便利な「数」ができます。

という具合に、思ったことは試してみればよいのではないでしょうか？
自然科学や数学のよいとろこは、本人がどう思ったとしても、
それが間違いであればおのずとその間違いを正してくれることだと思います。
ですから、どんどん「思う」ことが大切なのではないでしょうか？
そして、思って試せば、その先が見えてくるのだと思います。
>私は、このことは重要なことだと思います。
というところに感銘したのはこういう理由です。

とまあ、恥ずかしげもなく書きたいこと書いていますが許してください。