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dy＝dx
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ときおり出てくる質問ですね． ＃1=0.999...ほどではないですが 疑問ももっともで，そもそも dy/dx は一個の記号であって けっして「分数ではない」ので，約分はできません． ですので決して「ただの分数計算」とかではないのです． これはライプニッツが考えた記号が すごすぎるのが混乱のもとなのですが， 「分数ではない」けども「分数のように書いた」のには もちろん理由があるんです． それは「あたかも分数のように計算できる」ので， 分数のように書いた方が計算しやすいからです． 例えば，合成関数の微分 {f(g(x))}'= f'(g(x)) g'(x) これを dy/dx 式に書き直します． 簡単のため，t=g(x) とおくことにして {f(g(x))}' = df/dx f'(g(x)) g'(x) = (df/dt) (dt/dx) これは「約分の形」になっています この公式から誘導される置換積分 ∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(t) dt を書き直すと ∫ f(t) dt/dx dx = ∫ f(t) dt となりまさに約分． 積分に dx とかをつける理由のひとつが このような形式的な計算が可能であることを利用して 計算しやすくすることです． ということで，「本当は分数ではない」のだけども 微積分の各種計算規則を考慮すると， 分数のように書くと，あたかも約分ができるように 記述することができて，計算が楽になるというわけです． 初等的な範囲ではこれくらいの理解で問題ありません． 変数分離の微分方程式くらいでは dy=dxなんていう変形を陽に行わなくても 置換積分だけで処理できます． そして，置換積分で一々∫を書くのが面倒だから 省略したと解釈しても問題ないでしょう． ====================== 実は，これには裏があって， じつは，dy とか dx という「もの」が定義できるんです． そして，それの「割り算」として，dy/dx も定義できて， しかも，その値が導関数になるんです． さらに，dyとかdxの「積分」というのも定義できて， これは「普通の積分」の拡張となります．
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- adinat
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高校生には詳しくは教えないのですが、そういうことをやってもよいと本当にきちんと証明するには、かなり深い微積分の議論が必要になります。微分形式をきちんと勉強するか、あるいはたとえば解析概論なんかをごらんになるとよいです。ともあれ、大事なことは(dy)/(dx)とは、yの変分dyとxの変分dxの比のことであって、厳密にはyのxに関する導関数ではない、ということです。yのxに関する導関数は、xに関する微分を表すd/dxをyに作用させて、(d/dx)yと表すべきなのです。yは分子に乗せるのではなく、横にかく。そして大事な定理なのが、 (dy)/(dx)=(d/dx)y (=y') が成り立つ、というものです。左辺のことを微分商と言ったりすることもありますが、要はdyとdxの比であるので、導関数y'はその比例定数ということになります。したがって、dy=y'dxと書いてもよいのです。これがご質問に対する答えです。 この辺りの事情はいろいろな導入、展開の仕方があって、いろんな説明のされ方があるのですが、何はともあれ、あたかも通常の分数のように分母を払ったりしてもよいのだ、ということになります。dxやdyというのは受験数学までは厳密には定義しません。ですが、積分などをするときにたびたび何の気なしに使うことになります。本当はきちんと説明すべきなのだろうけれども、それを言ったら、受験数学での極限の扱いも厳密ではないのですし、要は高校レベルの微積分というのは、多少数学的厳密性を犠牲にして、正しいけど証明抜きでやっている議論、という認識をされるのがよいでしょう。気になった方はきちんと勉強されればよいのです。
お礼
回答ありがとうございました 勉強します
- ANASTASIAK
- ベストアンサー率19% (658/3306)
dy/dx＝１ になるということは分母分子の各増分が等しいときです。 なので、それを式に書くと、dy=dx となるわけです。
お礼
回答ありがとうございました
ま～ったく勘違いしているかもしれませんが… dy/dx=1 の両辺にdxを掛けたら (dy*dx)/dx=1*dx dy=dx っていうこと？ ただの分数計算。
補足
回答ありがとうございます。 dy/dxはyをxで微分する、という意味なのに、 dy/dx=dy÷dxであるかのように使って計算していいのは なぜなのでしょう？
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お礼
回答ありがとうございました >「割り算」として，dy/dx も定義できて， しかも，その値が導関数になるんです． そうなんですか。気になるので調べてみようと思います