ｄｙ/ｄｘについて

質問

ｄｙ/ｄｘはなぜ置換積分をする時（１）のように分数の計算みたいに計算できるんですか？高校の時も先生はそのことについてこれはこうなるという風にしか説明しませんでした。他の専門書とかにもとりあえずこうなるみたいな書き方をしてありました。そんなに難しい理論なんですか

（１）ｔ=2ｘ^2とすると　dt/dx=4x⇒dt=4xdx

回答No.6

siegmund · ベストアンサー

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=236331
でほぼ同様な疑問に対してかなり突っ込んだ回答がなされています．

回答No.12

stojkovic

詳しい事は、他の方が（特に＃２さん）答えれてますので。

以下のように、視点を変えてみては、どうですか。
（１）分数(dt/dx)ではなくて、比(dt:dx)と考えて下さい。
（２）書物にする時、字数やスペースの関係（安く刷る為）で、dt/dx⇒dt=dx と表記するのです。

いかがですか。

お礼

回答してくださった皆さんありがとうございます。ゆっくり考えてみたいと思います。

回答No.11

oshiete_goo

#10の者です.
＞今はきちんとした話は無理なので，
＞当面は(大学に入るまでは)良いと思います．

誤解して答えていたらお詫びいたします. 高校数学の学習者を想定した回答になってしまいました.
(質問者さんが仮に大学生以上の方だとしても,)理工系の専門(特に数学・物理・情報系等)の勉強を本格的にしているのでなければ基本的にはほぼ当てはまると思いますが, 他意はありませんので, 誤解がありましたらご容赦ください.

回答No.10

oshiete_goo

＞そんなに難しい理論なんですか

大学レベルで「微分形式」の話を勉強されたりすると，もっと見通しが良くなると思いますが，今はきちんとした話は無理なので，本や先生も曖昧な扱いをせざるを得ないのです．ただ，偶然ではなく，きちんとした背景があることだけは知っていて良いと思います．

今の段階では，無限小の量とでもいうべき"微小量"dx，dtに関係があって，
（dx，dtは普通の数ではなく，大学レベルでいう"微分"と呼ばれる量ですが，）置換積分のときは，形式的に　dt=4xdx　とやってよいという程度の理解で当面は(大学に入るまでは)良いと思います．あとは＃２さんなどが挙げてらっしゃるように，合成関数の微分法の話などですね．
いずれにしても，濫用すると危ないです．

回答No.9

sankonorei

dy/dx×dy/dx=dy^2/dx^2
の様に分数計算ができる。ということになっています。これは単なる記号として考案されたものであるから、謎めいたものではありません。これは、ニュートン、ライプニッツによって、物体の運動や地球の重力を理解するための数学的手段として用いるようにしたのであって、何故この形を用いたのかは本人でないと判りません。ちなみに我々回答する人間は誰かの兵ではありません。間違いのなきよう。

回答No.8

Mell-Lily

【質問】
皆さん、ご回答ありがとうございます。結論としては、解明されていない、こうすると上手くいく、ということですね？

【回答】
ただ、そうなっている、というだけのことだと思います。何か解明されるべきことがある、というわけではないでしょう。特に、それ以上の意味はないでしょう。

回答No.7

KaitoTVGAMEKOZOU

>結論としては解明されていないこうすると上手くいくということですね？

ｄｙ／ｄｘ＝ｄｙ÷ｄｘ　と叫んでいる人はたまに見かけますよ。私は左辺と右辺は一応別物だと叫びますが。証明もされているから使ってよいと言っている人もいる。ｇｏｏｇｌｅでいろいろキーワード検索してみたら？

おすすめキーワードは、「微分」「局所座標系」「ｄｙ＝ｆ'(ｘ)ｄｘ」「全微分」…ｅｔｃ

回答No.5

Mell-Lily

実際にのところ、この疑問に対しては、「そうなっているから」という回答もあり得ます。つまり、置換積分の公式と微分の表現と割り算の形式が、上手い具合に調和しているのです。

お礼

皆さんご回答ありがとうございます。結論としては解明されていないこうすると上手くいくということですね？

回答No.4

KaitoTVGAMEKOZOU

数学板の兵達が回答をためらっているようなので非才の身ながらがんばらせて頂く。

学校の教科書だと、微分係数の定義式から導関数の定義式をやり、これを「記号」として、
ｄｙ／ｄｘ＝f´(ｘ)＝lim(以下略)とある。つまり、ｄｙやｄｘが一つの量であるとは書かれていない。
だからわからなくて当たり前じゃ。

以上！あとは兵達にまかせる。お腹がすいたでの。

回答No.3

hinebot

２回目です。
念の為ですが、私の回答の主旨は、#2の方の回答にある
>dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)も分数の計算のようになっています。
も含めての話です。

回答No.2

tak2006

dy/dx=f(x)とおきます。これを積分の形で表すと、
　　y=∫{f(x)}dx 　　　　　 -(a)
次に、f(x)=g(t)となる変数tを定義する。
dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)となるので、
　　dy/dt=f(x)(dx/dt)=g(t)(dx/dt) -(b)
これを積分の形で表すと、
　　y=∫{f(x)(dx/dt)}dt 　　　　　 -(c)
(a)=(b)となるので、
　　∫{f(x)}dx=∫{g(t)(dx/dt)}dt -(d)
(d)式はxをtの関数で表現してdx/dtを計算し、積分の最後につけるdxをdtに置換した形となっています。理論で説明すると以上となります。
概念で説明すると、f(x)の積分はf(x)にxの微小変化分dxを掛けたものを足していくわけですが、これを微小変化分dtで行うには、お互い微小なdx、dtにも大小関係があって、それを比(つまりdx/dt)で表すことによりdxはdtの何倍なのかを知る必要があるというわけです。

ちなみに、dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)も分数の計算のようになっています。何故こうなるかは、参考書に載っていると思いますので見てみて下さい。