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導関数の記号 dy/dx の意味は?

chukanshiの回答

  • chukanshi
  • ベストアンサー率43% (186/425)
回答No.1

微分の記号dy/dxは、ライプニッツが考えた記号です。それはどうでも良いことですが。なぜ、「dy は分子、dx は分母」と考えていけないか。 それは、微分や積分が「極限」の操作を含んでおり、dxやdyは「極限」の操作の意味を含んだ記号であって、ただの数ではないからです。 例えば、微分の定義を考えてみましょう。 lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h でしたね。これを記号で書くと、df/dxとなります。明らかにlim(h→0)という極限の操作を含んでいますね。ですから、dxなどは、ただの数ではないので、分数の分子や分母と思ってはいけないです。 数学者からの立場からは、そういうことになります。 ただ、表現法からいうと、微分の記号をdy/dxなどとして、いかにも分数の計算をするように演算が表面上できるようになったのは、まさにライプニッツの直感による この表記法に依存するところが大きいのです。ですから、本当は分数ではないのですが、「分数のような気分」で計算できるのです。ライプニッツは表記法の天才ですね。表記法ひとつで「分数の気分」で計算できるようになったのです。 同時に微分を発明したニュートンはxの微分をxの上に点(・)をつけることによって表現しました。これは随分計算がしにくいですね。 つまり、微分、積分は「極限」があってはじめて定義され、その「極限」の操作の部分の意味がdxやdyに含まれているため、dxなどをただの数として扱ってはならず、dy/dxはひとつの記号で、分数ではないのです。でも、この表記のおかげで、 「分数の気分」で計算はできるのです。 体裁や外面は分数ではないけれど、ノリは分数というところでしょうか。

kbannai
質問者

お礼

ありがとうございました。 ホントは分数ではないけど、ライプニッツさんが考えた表記法 を使うと、分数の気分で(便利に)扱えるということですね。 私は、このことは重要なことだと思います。 しかし、教科書には書かれていないので、誤解していました。

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