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変数分離が成功したからといってなぜ一般解といえるのでしょう?
chukanshiの回答
- chukanshi
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元の微分方程式を D(x,y,z)f(x,y,z)=λf(x,y,z) という固有方程式として考えます。 変数分離とは D(x,y,z)=L(x)M(y)N(z) f(x,y,z)=l(x)m(y)n(z) として、 L(x)A(x)=α_lA_l(x) M(y)B(y)=β_mB_m(y) N(z)C(z)=γ_nC_n(z) として解けることをいいます。 ここで、それぞれの固有方程式は、複数の固有値と 固有関数、一番上の式だと、α_lとA_l(x)を 持ちます。 これを元に戻すと、 L(x)M(y)N(z)A(x)B(y)C(z) =Σ(l,m,n)α_lβ_mγ_nA_l(x)B_m(y)C_n(z) （ただしΣ(l,m,n)は、l,m,nについての和を表す。） となって、 D(x,y,z)f(x,y,z)= Σ(l,m,n)α_lβ_mγ_nA_l(x)B_m(y)C_n(z) となります。 「一般解はその積のすべてについての線形結合をとれば 得られる。」 というのを、 「一般解は、その固有関数の積のすべてについての 線形結合をとれば得られる。」 とすれば、理解頂けますか？
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