線形代数: 解が特殊解+一般解
- 線形代数の復習中に、解が特殊解+一般解になることについて理解できません。
- 方程式Ax=bの解が存在する場合、一般解は特殊解x₁と同次方程式の一般解x₀の和x=x₁+x₀で与えられます。
- 同次方程式の一般解がx₀=0に限定されていない場合、解は一次結合で表されるため、特殊解と一般解の和で方程式を満たさないことがあります。
- ベストアンサー
線形代数:解が特殊解+一般解
現在復習として線形代数をやっているのですが、解が特殊解+一般解になるというものがあまり理解できません。 m×n行列A、n次の列ベクトルx、m次の列ベクトルbからなる Ax=b という方程式があるとします。 この方程式が解を持つならば、その一般解は1つの特殊解x_1と、対応する同次方程式の一般解x_0との和x=x_1+x_0で与えられるという定理があります。 この証明として、Ax_1=b, Ax_0=0とすれば、A(x_1+x_0)=Ax_1+Ax_0=b+0=b; だから、x=x_1+x_0はAx=bの解になる。 これは、証明中では「Ax_0=0とすれば」と書いてあるから成り立つのは理解できますが、定理の中では同次方程式の一般解がx_0=0と限定はしていません。 仮にx_0=0でない場合、例えばrankA=r(r<n)とすると、一般解はx_0=t_(r+1)x_(r+1)+t_(r+2)x_(r+2)+…+t_nx_n (t_(r+1)~t_nは任意の定数) というように、解はx_(r+1)~x_nまでの一次結合になります。 つまり、A(x_1+x_0)=Ax_1+Ax_0=b+x_0(≠0)≠bということになります。 これは、特殊解と一般解の和がこの方程式を満たしていないことになります。 しかし、前に微分方程式なんかを習っていたときも特殊解と一般解の和を答えとして出してた記憶もあるので、成り立たないはずはない・・・?と思いますがまったく納得いきません。 自分の説明が間違っているとは思うので、何か間違っている点がわかる方いましたらご指摘お願いします。 見づらくわかりにくい文章で申し訳ないです・・・。
- kbwj16
- お礼率85% (17/20)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
「x_0=0でない場合」に, どうして「A(x_1+x_0)=Ax_1+Ax_0=b+x_0(≠0)≠b」となるのですか? 「同次方程式の一般解」がどういうものかわかっていますか?
関連するQ&A
- 線形代数・連立方程式
4次の正方行列 A=(1 α β 0) (2 β 10 α) (α 4 β -4) (1 2 3 -4) とベクトルbを用いて表される4元連立1次方程式Ax=bについて、解空間が t(x1 x2 x3 x4)=t(5+2s -3s+2t 1+s-t 3-s+t) s,tは実数 で与えられているときの、α、βを求めたいのですが、どのような条件を使って考えていけばよいのでしょうか?同次方程式を考えたりしてみたのですが、うまくいきません。どなたかお力添えをお願いします。 なを、カッコの前のtは転置行列という意味で使用させていただきました。大変読みにくいかもしれませんが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 連立線型方程式について。
同次方程式dx/dt=A(t)xに対する解核行列R(t,s)についてです。 解核行列R(t,s)のt,sとは何を意味しているのでしょうか? 最初、R(t,s)はn×n行列と書いてあったので、行列のt行目、s列目の要素のことだと思っていたのですが、その後の定理の証明に、R(t,s)の各列ベクトルr_k(t,s)とありました。 恥ずかしながら、行列をやったのは数年前なので、あまり覚えていません。 申し訳ないですが、ご教授お願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 現在線形代数を勉強しているものです。
現在線形代数を勉強しているものです。 わからないことが出てきましたので質問させていただきました。 xを変数とするベクトル方程式Ax=bについて、 Aはm*nの複素行列、xはn次元、bはm次元複素ベクトルとすると この方程式が解をもつためのAが満たすべき必要十分条件は何でしょうか。 Aやbが実数行列や実数ベクトルであれば rankA = rank(A,b) が必要十分条件ですがこれは複素数の場合でも成立することなのでしょうか。 よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数 連立一次方程式 教科書の記述について
線形代数の講義で連立一次方程式の解法を習っている者です。 教科書に、写真のように書かれているのですが、下方にあるxk(i)はxk(t)で正しいと思ったのですが、どうでしょうか? Ax=bで表される連立一次方程式です。(Aはm×nの係数行列 , x:はn項列ベクトル , bはm項列ベクトル) iは集合Iの要素で、I = { i | 1≦i≦n ; i≠k(1),k(2),...,k(r)}です。 これはiが、先頭列でない列番号を表しているということですよね? だとしたら、k(i)とは何なんでしょうか・・・ おそらく自分が何かしらの勘違いをしているとは思いますが・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 1階非同次微分方程式の一般解について
1階非同次微分方程式の一般解の解釈について不明点がございます。 一般化した1階非同次微分方程式:y' + p(x)y = q(x)の一般解は y = e^(-∫p(x)dx) * ∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx + ce^(-∫p(x)dx) で表されるのは理解できるのですが、この一般解が非同次微分方程式の特殊解と同次微分方程式の一般解の和になっていることが理解できません。 つまり右辺の1項目、e^(-∫p(x)dx) * ∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx が非同次方程式の特殊解になる理由がわかりません。 個人的に考えるに右辺の2項目のcが-∞~∞まで全ての値をとることが可能なので c=0の場合に、右辺の1項目は非同次方程式の特殊解になる、と勝手に推測しているのですがその考えでよろしいでしょうか? どなたかその辺詳しい方がいらっしゃいましたら是非ご教授お願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数の問題です
0...0...6 1...0..-11=Bの行列とする 0...1...6 (1)ψ(t)=det(tE-B)(Eは単位行列)とおく。ψ(t)=0の解を求めよ。それをα1、α2、α3とおく (2)(1)の各αiに対し、連立一次方程式(αiE-B)x=0の解で0と異なるものを一つとり、viとおく。v1,v2.v3は一次独立であることを示せ (3)R^3(座標空間)の一次変換T(x)=Axを考える。R^3の基底{v1,v2,v3}に関するTの表示行列を求めよ という問題です。 (1)はα=1,2,3が求められると思うのですがどうでしょうか。 また、(2)、(3)はよくわかりません。よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 1階線形偏微分方程式の一般解
数学のことでちょっと皆様のお知恵を拝借いたしたく質問します。 次の偏微分方程式の一般解の求め方を教えてください。 ∂T(x,t)/∂t + (q(t)/S)(∂T(x,t)/∂x) = c(T_w(x,t) - T(x,t)) c,S:定数 僕の所有する参考書によるとこの種の方程式は ラグランジュの偏微分方程式と呼ばれていて、 ちょっとだけ一般解の求め方が書いてありました。 しかし、どうしても一般解にたどりつけません。 その方法とは、偏微分方程式 P(x,y,z)(∂z/∂x) + Q(x,y,z)(∂z/∂y) = R(x,y,z) に対して連立補助方程式 dx/P = dy/Q = dz/R を解いた解を f(x,y,z) = a, g(x,y,z) = b (a,bは積分定数) とする。φを任意の関数として、一般解は φ(f,g) = 0 である。 という解法です。しかし、T_wが邪魔でうまくいかないです。 詳しい参考書を手に入れようにも近くに本屋がないのでお手上げです。 どなたかご教授お願いしますm( _ _ )m
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 今ちょっと考えてみたら、同次方程式の一般解は、どうやってもAx_0=0になりますね。 解と右辺の列ベクトルを混同してしまっていました。